Номер 6.12, страница 48 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

6.12. Найдите область определения выражения:

1) $(x+1)^{\frac{3}{7}}$;

2) $x^{\frac{3}{5}}$;

3) $x^{-\frac{3}{4}}$;

4) $(x-3)^{\frac{2}{3}}$.

1) Область определения выражения вида $a^p$, где $p$ - рациональное число ($p = \frac{m}{n}$, где $m \in \mathbb{Z}, n \in \mathbb{N}, n \ge 2$), зависит от свойств показателя $p$. Выражение можно представить как $\sqrt[n]{a^m}$.

В выражении $(x+1)^{\frac{3}{7}}$, основание степени равно $x+1$, а показатель степени $\frac{3}{7}$. Показатель является положительным числом, а его знаменатель $7$ — нечетное число. Выражение можно записать как $\sqrt[7]{(x+1)^3}$. Корень нечетной степени определен для любого действительного подкоренного выражения. Следовательно, выражение $x+1$ может быть любым действительным числом, что означает, что и $x$ может быть любым действительным числом.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

2) В выражении $x^{\frac{3}{5}}$, основание степени — $x$, показатель степени — $\frac{3}{5}$. Показатель положительный, знаменатель $5$ — нечетное число. Выражение эквивалентно $\sqrt[5]{x^3}$. Так как корень нечетной степени извлекается из любого действительного числа, ограничений на переменную $x$ нет.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

3) В выражении $x^{-\frac{3}{4}}$, основание степени — $x$, показатель степени — $-\frac{3}{4}$. Отрицательный показатель означает, что выражение можно переписать в виде дроби: $x^{-\frac{3}{4}} = \frac{1}{x^{\frac{3}{4}}}$.

Рассмотрим знаменатель $x^{\frac{3}{4}}$. Здесь показатель $\frac{3}{4}$ имеет четный знаменатель $4$. Выражение $x^{\frac{3}{4}}$ можно записать как $\sqrt[4]{x^3}$. Корень четной степени определен только для неотрицательных подкоренных выражений. Следовательно, должно выполняться условие $x^3 \ge 0$, что равносильно $x \ge 0$.

Кроме того, знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому $x^{\frac{3}{4}} \neq 0$, что означает $x \neq 0$.

Объединяя оба условия ($x \ge 0$ и $x \neq 0$), получаем, что $x$ должен быть строго больше нуля.

Ответ: $x \in (0; +\infty)$.

4) В выражении $(x-3)^{\frac{2}{9}}$, основание степени — $x-3$, показатель степени — $\frac{2}{9}$. Показатель является положительным, а его знаменатель $9$ — нечетное число. Выражение можно записать в виде $\sqrt[9]{(x-3)^2}$.

Подкоренное выражение $(x-3)^2$ всегда неотрицательно (больше или равно нулю) для любого действительного значения $x$. Корень нечетной степени определен для любого действительного подкоренного выражения. Следовательно, выражение $(x-3)^{\frac{2}{9}}$ определено для всех действительных значений $x$.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.