Номер 6.10, страница 48 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

6.10. Напишите корни в виде степеней с рациональными показателями:

1) $\frac{1}{8}\sqrt[3]{2^{15} \cdot ax^5}$;

2) $\sqrt[3]{a^7 \sqrt[4]{a}}$;

3) $\sqrt[9]{b^8} \cdot \sqrt[3]{b}$;

4) $\frac{1}{3}\sqrt[3]{27} \cdot \sqrt[3]{x}$.

1) Для преобразования выражения $\frac{1}{8}\sqrt[3]{2^{15} \cdot ax^5}$ в степень с рациональным показателем воспользуемся свойством корня $\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$ и определением степени с рациональным показателем $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$.

Сначала представим множитель $\frac{1}{8}$ в виде степени числа 2: $\frac{1}{8} = \frac{1}{2^3} = 2^{-3}$.

Теперь преобразуем подкоренное выражение:

$\sqrt[3]{2^{15} \cdot ax^5} = \sqrt[3]{2^{15}} \cdot \sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[3]{x^5} = 2^{\frac{15}{3}} \cdot a^{\frac{1}{3}} \cdot x^{\frac{5}{3}} = 2^5 \cdot a^{\frac{1}{3}} \cdot x^{\frac{5}{3}}$.

Объединим все части:

$\frac{1}{8}\sqrt[3]{2^{15} \cdot ax^5} = 2^{-3} \cdot (2^5 \cdot a^{\frac{1}{3}} \cdot x^{\frac{5}{3}}) = (2^{-3} \cdot 2^5) \cdot a^{\frac{1}{3}} \cdot x^{\frac{5}{3}}$.

По свойству степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, получаем:

$2^{-3+5} \cdot a^{\frac{1}{3}} \cdot x^{\frac{5}{3}} = 2^2 \cdot a^{\frac{1}{3}} \cdot x^{\frac{5}{3}} = 4a^{\frac{1}{3}}x^{\frac{5}{3}}$.

Ответ: $4a^{\frac{1}{3}}x^{\frac{5}{3}}$.

2) Для преобразования выражения $\sqrt[3]{a^7 \sqrt[4]{a}}$ будем работать с корнями изнутри наружу.

Сначала представим внутренний корень $\sqrt[4]{a}$ в виде степени: $\sqrt[4]{a} = a^{\frac{1}{4}}$.

Подставим это в исходное выражение: $\sqrt[3]{a^7 \cdot a^{\frac{1}{4}}}$.

Упростим выражение под кубическим корнем, используя свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$a^7 \cdot a^{\frac{1}{4}} = a^{7+\frac{1}{4}} = a^{\frac{28}{4}+\frac{1}{4}} = a^{\frac{29}{4}}$.

Теперь выражение имеет вид $\sqrt[3]{a^{\frac{29}{4}}}$.

Преобразуем оставшийся корень в степень, используя свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$\sqrt[3]{a^{\frac{29}{4}}} = (a^{\frac{29}{4}})^{\frac{1}{3}} = a^{\frac{29}{4} \cdot \frac{1}{3}} = a^{\frac{29}{12}}$.

Ответ: $a^{\frac{29}{12}}$.

3) Рассмотрим выражение $\sqrt[9]{b^8} \cdot \sqrt[3]{b}$.

Представим каждый корень в виде степени с рациональным показателем:

$\sqrt[9]{b^8} = b^{\frac{8}{9}}$

$\sqrt[3]{b} = b^{\frac{1}{3}}$

Теперь перемножим полученные степени, используя свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$b^{\frac{8}{9}} \cdot b^{\frac{1}{3}} = b^{\frac{8}{9} + \frac{1}{3}}$.

Приведем дроби в показателе к общему знаменателю:

$\frac{8}{9} + \frac{1}{3} = \frac{8}{9} + \frac{3}{9} = \frac{11}{9}$.

Таким образом, результат равен $b^{\frac{11}{9}}$.

Ответ: $b^{\frac{11}{9}}$.

4) Преобразуем выражение $\frac{1}{3}\sqrt[3]{27 \cdot \sqrt[3]{x}}$.

Представим $27$ как $3^3$. Выражение примет вид: $\frac{1}{3}\sqrt[3]{3^3 \cdot \sqrt[3]{x}}$.

Воспользуемся свойством $\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$:

$\frac{1}{3}\sqrt[3]{3^3 \cdot \sqrt[3]{x}} = \frac{1}{3} \cdot \sqrt[3]{3^3} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{x}}$.

Упростим каждый множитель:

$\sqrt[3]{3^3} = 3^{\frac{3}{3}} = 3^1 = 3$.

Для вложенного корня используем свойство $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[m \cdot n]{a}$:

$\sqrt[3]{\sqrt[3]{x}} = \sqrt[3 \cdot 3]{x} = \sqrt[9]{x} = x^{\frac{1}{9}}$.

Теперь соберем все вместе:

$\frac{1}{3} \cdot 3 \cdot x^{\frac{1}{9}} = 1 \cdot x^{\frac{1}{9}} = x^{\frac{1}{9}}$.

Ответ: $x^{\frac{1}{9}}$.