Номер 6.11, страница 48 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

6.11. Напишите выражение в виде корня:

1) $5 \cdot 7^{\frac{3}{5}};$

2) $a^{\frac{3}{4}} : b^{\frac{2}{3}};$

3) $3b^{\frac{1}{5}};$

4) $b^{\frac{2}{3}} \cdot c^{\frac{3}{4}}.$

1) Чтобы записать выражение $5 \cdot 7^{\frac{3}{5}}$ в виде корня, необходимо выполнить следующие шаги:

Сначала преобразуем степень с рациональным показателем в корень, используя основное свойство $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^m}$.

$7^{\frac{3}{5}} = \sqrt[5]{7^3}$.

Теперь исходное выражение имеет вид $5 \cdot \sqrt[5]{7^3}$.

Чтобы внести множитель 5 под знак корня, необходимо возвести его в степень, равную показателю корня, то есть в 5-ю степень, и поместить под знак корня: $5 = \sqrt[5]{5^5}$.

Далее используем свойство произведения корней с одинаковыми показателями $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$:

$5 \cdot \sqrt[5]{7^3} = \sqrt[5]{5^5} \cdot \sqrt[5]{7^3} = \sqrt[5]{5^5 \cdot 7^3}$.

Вычислим значения степеней под корнем:

$5^5 = 3125$

$7^3 = 343$

Перемножим полученные значения: $3125 \cdot 343 = 1071875$.

Таким образом, окончательное выражение в виде корня: $\sqrt[5]{1071875}$.

Ответ: $\sqrt[5]{1071875}$.

2) Чтобы записать выражение $a^{\frac{3}{4}} : b^{\frac{2}{3}}$ в виде корня, выполним следующие действия:

Запишем выражение в виде дроби и преобразуем степени с рациональными показателями в корни:

$a^{\frac{3}{4}} : b^{\frac{2}{3}} = \frac{a^{\frac{3}{4}}}{b^{\frac{2}{3}}} = \frac{\sqrt[4]{a^3}}{\sqrt[3]{b^2}}$.

Чтобы объединить корни в числителе и знаменателе под один знак корня, необходимо привести их к общему показателю. Наименьшее общее кратное (НОК) для показателей корней 4 и 3 равно 12.

Приведем каждый корень к показателю 12, используя свойство $\sqrt[n]{x^m} = \sqrt[nk]{x^{mk}}$:

Для числителя: $\sqrt[4]{a^3} = \sqrt[4 \cdot 3]{a^{3 \cdot 3}} = \sqrt[12]{a^9}$.

Для знаменателя: $\sqrt[3]{b^2} = \sqrt[3 \cdot 4]{b^{2 \cdot 4}} = \sqrt[12]{b^8}$.

Теперь подставим преобразованные корни обратно в дробь и используем свойство частного корней $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}$:

$\frac{\sqrt[12]{a^9}}{\sqrt[12]{b^8}} = \sqrt[12]{\frac{a^9}{b^8}}$.

Ответ: $\sqrt[12]{\frac{a^9}{b^8}}$.

3) Чтобы записать выражение $3b^{\frac{4}{5}}$ в виде корня, выполним следующие преобразования:

Преобразуем степень с рациональным показателем в корень:

$b^{\frac{4}{5}} = \sqrt[5]{b^4}$.

Выражение принимает вид $3 \cdot \sqrt[5]{b^4}$.

Чтобы внести множитель 3 под знак корня, представим его в виде корня пятой степени: $3 = \sqrt[5]{3^5}$.

Теперь перемножим корни, используя свойство $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$:

$\sqrt[5]{3^5} \cdot \sqrt[5]{b^4} = \sqrt[5]{3^5 \cdot b^4}$.

Вычислим значение степени: $3^5 = 243$.

Таким образом, окончательное выражение имеет вид $\sqrt[5]{243b^4}$.

Ответ: $\sqrt[5]{243b^4}$.

4) Чтобы записать выражение $b^{\frac{2}{3}} \cdot c^{\frac{3}{4}}$ в виде корня, необходимо:

Преобразовать каждую степень с рациональным показателем в корень:

$b^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{b^2}$

$c^{\frac{3}{4}} = \sqrt[4]{c^3}$

Исходное выражение становится произведением корней: $\sqrt[3]{b^2} \cdot \sqrt[4]{c^3}$.

Чтобы объединить эти корни под одним знаком, приведем их к общему показателю. НОК для показателей 3 и 4 равно 12.

Приведем каждый корень к показателю 12:

$\sqrt[3]{b^2} = \sqrt[3 \cdot 4]{b^{2 \cdot 4}} = \sqrt[12]{b^8}$.

$\sqrt[4]{c^3} = \sqrt[4 \cdot 3]{c^{3 \cdot 3}} = \sqrt[12]{c^9}$.

Теперь перемножим полученные корни с одинаковым показателем:

$\sqrt[12]{b^8} \cdot \sqrt[12]{c^9} = \sqrt[12]{b^8 c^9}$.

Ответ: $\sqrt[12]{b^8 c^9}$.