Номер 6.4, страница 47 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

6.4. 1) $(8^{\frac{1}{6}} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) : 8^{\frac{1}{2}} ; $

2) $\sqrt[3]{100} \cdot (\sqrt{2})^{\frac{9}{3}} \cdot (5)^{\frac{1}{3}} ; $

3) $81^{0.75} : 8^{\frac{7}{3}} ; $

4) $(\frac{36}{25})^{0.5} \cdot (\frac{125}{27})^{-\frac{1}{3}}.$

1) Для решения выражения $(8^{\frac{1}{6}} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) : 8^{\frac{1}{2}}$ представим основания степеней 8 и 9 в виде степеней простых чисел: $8 = 2^3$ и $9 = 3^2$.

Подставим эти значения в исходное выражение:

$((2^3)^{\frac{1}{6}} \cdot (3^2)^{\frac{3}{2}}) : (2^3)^{\frac{1}{2}}$

Воспользуемся свойством степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$(2^{3 \cdot \frac{1}{6}} \cdot 3^{2 \cdot \frac{3}{2}}) : 2^{3 \cdot \frac{1}{2}} = (2^{\frac{3}{6}} \cdot 3^3) : 2^{\frac{3}{2}} = (2^{\frac{1}{2}} \cdot 27) : 2^{\frac{1}{2}}$

Теперь раскроем скобки и применим свойство деления степеней с одинаковым основанием $a^m : a^n = a^{m-n}$:

$2^{\frac{1}{2}} \cdot 27 : 2^{\frac{1}{2}} = (2^{\frac{1}{2}} : 2^{\frac{1}{2}}) \cdot 27 = 2^{\frac{1}{2}-\frac{1}{2}} \cdot 27 = 2^0 \cdot 27$

Так как любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно 1, получаем:

$1 \cdot 27 = 27$

Ответ: $27$.

2) Для решения выражения $\sqrt[3]{100} \cdot (\sqrt{2})^{\frac{8}{3}} \cdot (5)^{\frac{1}{3}}$ перейдем от корней к степеням с дробными показателями и представим основания в виде степеней простых чисел.

$\sqrt[3]{100} = 100^{\frac{1}{3}} = (10^2)^{\frac{1}{3}} = ((2 \cdot 5)^2)^{\frac{1}{3}} = 2^{\frac{2}{3}} \cdot 5^{\frac{2}{3}}$

$(\sqrt{2})^{\frac{8}{3}} = (2^{\frac{1}{2}})^{\frac{8}{3}} = 2^{\frac{1}{2} \cdot \frac{8}{3}} = 2^{\frac{8}{6}} = 2^{\frac{4}{3}}$

Подставим преобразованные выражения в исходное:

$(2^{\frac{2}{3}} \cdot 5^{\frac{2}{3}}) \cdot 2^{\frac{4}{3}} \cdot 5^{\frac{1}{3}}$

Сгруппируем множители с одинаковыми основаниями и воспользуемся свойством умножения степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$(2^{\frac{2}{3}} \cdot 2^{\frac{4}{3}}) \cdot (5^{\frac{2}{3}} \cdot 5^{\frac{1}{3}}) = 2^{\frac{2}{3}+\frac{4}{3}} \cdot 5^{\frac{2}{3}+\frac{1}{3}} = 2^{\frac{6}{3}} \cdot 5^{\frac{3}{3}} = 2^2 \cdot 5^1$

Вычислим результат:

$4 \cdot 5 = 20$

Ответ: $20$.

3) Для решения выражения $81^{0.75} : 8^{\frac{2}{3}}$ сначала преобразуем десятичную степень в дробную: $0.75 = \frac{3}{4}$.

Затем представим основания 81 и 8 в виде степеней простых чисел: $81 = 3^4$ и $8 = 2^3$.

Подставим эти значения в выражение:

$(3^4)^{\frac{3}{4}} : (2^3)^{\frac{2}{3}}$

Используем свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$3^{4 \cdot \frac{3}{4}} : 2^{3 \cdot \frac{2}{3}} = 3^3 : 2^2$

Вычислим значения степеней:

$27 : 4 = \frac{27}{4}$

Ответ: $\frac{27}{4}$.

4) Для решения выражения $(\frac{36}{25})^{0.5} \cdot (\frac{125}{27})^{-\frac{1}{3}}$ преобразуем десятичную степень в дробную $0.5 = \frac{1}{2}$ и воспользуемся свойством отрицательной степени $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$.

Выражение примет вид:

$(\frac{36}{25})^{\frac{1}{2}} \cdot (\frac{27}{125})^{\frac{1}{3}}$

Применим свойство $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$:

$\frac{36^{\frac{1}{2}}}{25^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{27^{\frac{1}{3}}}{125^{\frac{1}{3}}}$

Поскольку степень $\frac{1}{2}$ эквивалентна квадратному корню, а степень $\frac{1}{3}$ - кубическому корню, получаем:

$\frac{\sqrt{36}}{\sqrt{25}} \cdot \frac{\sqrt[3]{27}}{\sqrt[3]{125}} = \frac{6}{5} \cdot \frac{3}{5}$

Перемножим дроби:

$\frac{6 \cdot 3}{5 \cdot 5} = \frac{18}{25}$

Ответ: $\frac{18}{25}$.