Номер 6.7, страница 48 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Сократите дробь (6.7–6.8):

6.7. 1)

$\frac{x - y}{x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}}}$

2)

$\frac{x - 8}{x^{\frac{2}{3}} + 2x^{\frac{1}{3}} + 4}$

3)

$\frac{x - 16}{x^{\frac{1}{2}} - 4}$

4)

$\frac{a^{\frac{2}{3}} - a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}}}{a + b}$

$a^{\frac{4}{3}} - a^{\frac{4}{3}} + a^{\frac{1}{2}} - 1$

$a^{\frac{2}{3}} - b^{\frac{2}{3}}$

1) Исходная дробь: $\frac{x-y}{x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}}}$.

Для сокращения дроби представим числитель $x-y$ как разность квадратов, так как $x = (x^{\frac{1}{2}})^2$ и $y = (y^{\frac{1}{2}})^2$.

Применяем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$x-y = (x^{\frac{1}{2}})^2 - (y^{\frac{1}{2}})^2 = (x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}})(x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}})$.

Подставим полученное выражение в числитель дроби и сократим общий множитель $(x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}})$:

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}})(x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}}} = x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}}$.

Ответ: $x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}}$

2) Исходная дробь: $\frac{x-8}{x^{\frac{2}{3}} + 2x^{\frac{1}{3}} + 4}$.

Для сокращения дроби представим числитель $x-8$ как разность кубов, так как $x = (x^{\frac{1}{3}})^3$ и $8 = 2^3$.

Применяем формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$:

$x-8 = (x^{\frac{1}{3}})^3 - 2^3 = (x^{\frac{1}{3}} - 2)((x^{\frac{1}{3}})^2 + x^{\frac{1}{3}} \cdot 2 + 2^2) = (x^{\frac{1}{3}} - 2)(x^{\frac{2}{3}} + 2x^{\frac{1}{3}} + 4)$.

Подставим полученное выражение в числитель дроби и сократим общий множитель $(x^{\frac{2}{3}} + 2x^{\frac{1}{3}} + 4)$:

$\frac{(x^{\frac{1}{3}} - 2)(x^{\frac{2}{3}} + 2x^{\frac{1}{3}} + 4)}{x^{\frac{2}{3}} + 2x^{\frac{1}{3}} + 4} = x^{\frac{1}{3}} - 2$.

Ответ: $x^{\frac{1}{3}} - 2$

3) Исходная дробь: $\frac{x-16}{x^{\frac{1}{2}} - 4}$.

Для сокращения дроби представим числитель $x-16$ как разность квадратов, так как $x = (x^{\frac{1}{2}})^2$ и $16 = 4^2$.

Применяем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$x-16 = (x^{\frac{1}{2}})^2 - 4^2 = (x^{\frac{1}{2}} - 4)(x^{\frac{1}{2}} + 4)$.

Подставим полученное выражение в числитель дроби и сократим общий множитель $(x^{\frac{1}{2}} - 4)$:

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} - 4)(x^{\frac{1}{2}} + 4)}{x^{\frac{1}{2}} - 4} = x^{\frac{1}{2}} + 4$.

Ответ: $x^{\frac{1}{2}} + 4$

4) Исходная дробь: $\frac{a^{\frac{2}{3}} - a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}}}{a+b}$.

Для сокращения дроби представим знаменатель $a+b$ как сумму кубов, так как $a = (a^{\frac{1}{3}})^3$ и $b = (b^{\frac{1}{3}})^3$.

Применяем формулу суммы кубов $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$:

$a+b = (a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}})((a^{\frac{1}{3}})^2 - a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + (b^{\frac{1}{3}})^2) = (a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}})(a^{\frac{2}{3}} - a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}})$.

Подставим полученное выражение в знаменатель дроби и сократим общий множитель $(a^{\frac{2}{3}} - a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}})$:

$\frac{a^{\frac{2}{3}} - a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}}}{(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}})(a^{\frac{2}{3}} - a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}})} = \frac{1}{a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}}$.

Ответ: $\frac{1}{a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}}$