Номер 6.13, страница 49 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

6.13. Упростите:

1) $\frac{a - b}{a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}} + b^{\frac{1}{2}}, a > 0, b > 0;$

2) $\frac{x^{\frac{2}{3}} - y^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{1}{3}} - y^{\frac{1}{3}}}, x \ne y;$

3) $\left(a^{\frac{3}{2}} b^{\frac{1}{2}} + a^{\frac{1}{2}} b^{\frac{3}{2}} - \left(\frac{a}{b}\right)^{\frac{1}{2}}\right) \cdot \left(\frac{b}{a}\right)^{\frac{1}{2}}, a > 0, b > 0;$

4) $\left(a \left(\frac{a}{b}\right)^{\frac{1}{2}} + b \cdot \left(\frac{b}{a}\right)^{\frac{1}{2}} - 2(ab)^{\frac{1}{2}}\right) \cdot (ab)^{\frac{1}{2}}, a > 0, b > 0.$

1)

Представим числитель дроби $a - b$ как разность квадратов, используя свойство $x = (x^{\frac{1}{2}})^2$.

$a - b = (a^{\frac{1}{2}})^2 - (b^{\frac{1}{2}})^2 = (a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})$

Подставим это выражение в исходное:

$\frac{(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})}{a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}} + b^{\frac{1}{2}}$

Сократим дробь на $(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})$:

$(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}}) + b^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{1}{2}}$

Ответ: $a^{\frac{1}{2}}$

2)

Представим числитель дроби $x^{\frac{2}{3}} - y^{\frac{2}{3}}$ как разность квадратов, так как $x^{\frac{2}{3}} = (x^{\frac{1}{3}})^2$ и $y^{\frac{2}{3}} = (y^{\frac{1}{3}})^2$.

$x^{\frac{2}{3}} - y^{\frac{2}{3}} = (x^{\frac{1}{3}})^2 - (y^{\frac{1}{3}})^2 = (x^{\frac{1}{3}} - y^{\frac{1}{3}})(x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{3}})$

Подставим это выражение в исходную дробь:

$\frac{(x^{\frac{1}{3}} - y^{\frac{1}{3}})(x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{3}})}{x^{\frac{1}{3}} - y^{\frac{1}{3}}}$

Так как $x \neq y$, то $x^{\frac{1}{3}} - y^{\frac{1}{3}} \neq 0$, и мы можем сократить дробь на $(x^{\frac{1}{3}} - y^{\frac{1}{3}})$:

$x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{3}}$

Ответ: $x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{3}}$

3)

Раскроем скобки, умножив каждый член в скобках на $(\frac{b}{a})^{\frac{1}{2}}$.

$(\frac{b}{a})^{\frac{1}{2}} = \frac{b^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}}$

$(a^{\frac{3}{2}}b^{\frac{1}{2}} + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{3}{2}} - (\frac{a}{b})^{\frac{1}{2}}) \cdot (\frac{b}{a})^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{3}{2}}b^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{b^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}} + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{b^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}} - \frac{a^{\frac{1}{2}}}{b^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{b^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}}$

Упростим каждый член по отдельности, используя свойства степеней $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$ и $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$:

Первый член: $a^{\frac{3}{2}-\frac{1}{2}} \cdot b^{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}} = a^1 \cdot b^1 = ab$

Второй член: $a^{\frac{1}{2}-\frac{1}{2}} \cdot b^{\frac{3}{2}+\frac{1}{2}} = a^0 \cdot b^2 = 1 \cdot b^2 = b^2$

Третий член: $\frac{a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}}}{b^{\frac{1}{2}}a^{\frac{1}{2}}} = 1$

Соберем все вместе:

$ab + b^2 - 1$

Ответ: $ab + b^2 - 1$

4)

Раскроем скобки, умножив каждый член в скобках на $(ab)^{\frac{1}{2}}$.

$(a(\frac{a}{b})^{\frac{1}{2}} + b(\frac{b}{a})^{\frac{1}{2}} - 2(ab)^{\frac{1}{2}}) \cdot (ab)^{\frac{1}{2}} = a(\frac{a}{b})^{\frac{1}{2}}(ab)^{\frac{1}{2}} + b(\frac{b}{a})^{\frac{1}{2}}(ab)^{\frac{1}{2}} - 2(ab)^{\frac{1}{2}}(ab)^{\frac{1}{2}}$

Упростим каждый член по отдельности:

Первый член: $a \cdot \frac{a^{\frac{1}{2}}}{b^{\frac{1}{2}}} \cdot a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} = a \cdot a^{\frac{1}{2}} \cdot a^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{b^{\frac{1}{2}}}{b^{\frac{1}{2}}} = a \cdot a^1 \cdot 1 = a^2$

Второй член: $b \cdot \frac{b^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}} \cdot a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} = b \cdot b^{\frac{1}{2}} \cdot b^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{a^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}} = b \cdot b^1 \cdot 1 = b^2$

Третий член: $-2((ab)^{\frac{1}{2}})^2 = -2ab$

Соберем все вместе:

$a^2 + b^2 - 2ab$

Это формула квадрата разности:

$(a-b)^2$

Ответ: $(a - b)^2$