Номер 6.14, страница 49 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Вычислите (6.14—6.15):

6.14. 1)

$ \frac{4 - 3 \cdot 2^{\frac{1}{2}}}{\left(24^{\frac{1}{4}} - 8^{\frac{1}{4}}\right)^2} $;

2)

$ \frac{\left(24^{\frac{1}{4}} + 6^{\frac{1}{4}}\right)^2}{4 \cdot 3^{\frac{1}{2}} + 3 \cdot 6^{\frac{1}{2}}} $;

3)

$ \frac{\left(9^{\frac{1}{3}} + 3^{\frac{1}{2}}\right)^2}{3^{\frac{1}{3}} + 2 \cdot 3^{\frac{1}{6}} + 1} $;

4)

$ \frac{1 - 2 \cdot 5^{\frac{1}{4}} + 5^{\frac{1}{2}}}{\left(5^{\frac{1}{2}} - 5^{\frac{1}{4}}\right)^2} $.

1) Исходное выражение: $ \frac{4 - 3 \cdot 2^{1/2}}{(2^{1/4} - 8^{1/4})^2} $.

Сначала упростим знаменатель. Для этого представим $8$ как степень $2$: $8 = 2^3$.

$ (2^{1/4} - 8^{1/4})^2 = (2^{1/4} - (2^3)^{1/4})^2 = (2^{1/4} - 2^{3/4})^2 $.

Раскроем квадрат разности по формуле $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$ (2^{1/4})^2 - 2 \cdot 2^{1/4} \cdot 2^{3/4} + (2^{3/4})^2 = 2^{2/4} - 2 \cdot 2^{1/4+3/4} + 2^{6/4} = 2^{1/2} - 2 \cdot 2^1 + 2^{3/2} $.

Упростим полученное выражение:

$ \sqrt{2} - 4 + 2\sqrt{2} = 3\sqrt{2} - 4 $.

Теперь подставим упрощенный знаменатель в исходную дробь:

$ \frac{4 - 3 \cdot 2^{1/2}}{3\sqrt{2} - 4} = \frac{4 - 3\sqrt{2}}{3\sqrt{2} - 4} $.

Вынесем $-1$ в числителе:

$ \frac{-(3\sqrt{2} - 4)}{3\sqrt{2} - 4} = -1 $.

Ответ: -1

2) Исходное выражение: $ \frac{(24^{1/4} + 6^{1/4})^2}{4 \cdot 3^{1/2} + 3 \cdot 6^{1/2}} $.

Раскроем квадрат в числителе, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$ (24^{1/4} + 6^{1/4})^2 = (24^{1/4})^2 + 2 \cdot 24^{1/4} \cdot 6^{1/4} + (6^{1/4})^2 = 24^{1/2} + 2 \cdot (24 \cdot 6)^{1/4} + 6^{1/2} $.

Упростим полученное выражение:

$ \sqrt{24} + 2 \cdot (144)^{1/4} + \sqrt{6} = \sqrt{4 \cdot 6} + 2 \cdot (12^2)^{1/4} + \sqrt{6} = 2\sqrt{6} + 2 \cdot 12^{2/4} + \sqrt{6} = 3\sqrt{6} + 2\sqrt{12} = 3\sqrt{6} + 2\sqrt{4 \cdot 3} = 3\sqrt{6} + 4\sqrt{3} $.

Упростим знаменатель:

$ 4 \cdot 3^{1/2} + 3 \cdot 6^{1/2} = 4\sqrt{3} + 3\sqrt{6} $.

Теперь подставим упрощенные числитель и знаменатель в дробь:

$ \frac{3\sqrt{6} + 4\sqrt{3}}{4\sqrt{3} + 3\sqrt{6}} = 1 $.

Ответ: 1

3) Исходное выражение: $ \frac{(9^{1/3} + 3^{1/2})^2}{3^{1/3} + 2 \cdot 3^{1/6} + 1} $.

Рассмотрим знаменатель. Заметим, что он представляет собой формулу полного квадрата $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$ 3^{1/3} + 2 \cdot 3^{1/6} + 1 = (3^{1/6})^2 + 2 \cdot 3^{1/6} \cdot 1 + 1^2 = (3^{1/6} + 1)^2 $.

Теперь упростим выражение в скобках в числителе. Представим $9$ как $3^2$ и приведем степени к общему знаменателю $6$:

$ 9^{1/3} + 3^{1/2} = (3^2)^{1/3} + 3^{1/2} = 3^{2/3} + 3^{1/2} = 3^{4/6} + 3^{3/6} $.

Вынесем общий множитель $3^{3/6}$:

$ 3^{3/6}(3^{4/6 - 3/6} + 1) = 3^{1/2}(3^{1/6} + 1) $.

Теперь возведем это выражение в квадрат, чтобы получить числитель:

$ (3^{1/2}(3^{1/6} + 1))^2 = (3^{1/2})^2 (3^{1/6} + 1)^2 = 3(3^{1/6} + 1)^2 $.

Подставим упрощенные числитель и знаменатель в дробь:

$ \frac{3(3^{1/6} + 1)^2}{(3^{1/6} + 1)^2} = 3 $.

Ответ: 3

4) Исходное выражение: $ \frac{1 - 2 \cdot 5^{1/4} + 5^{1/2}}{(5^{1/2} - 5^{3/4})^2} $.

Рассмотрим числитель. Заметим, что он является полным квадратом $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$ 1 - 2 \cdot 5^{1/4} + 5^{1/2} = 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 5^{1/4} + (5^{1/4})^2 = (1 - 5^{1/4})^2 $.

Теперь упростим знаменатель. Вынесем в скобках общий множитель с наименьшим показателем, то есть $5^{1/2}$:

$ (5^{1/2} - 5^{3/4})^2 = (5^{2/4}(1 - 5^{3/4-2/4}))^2 = (5^{1/2}(1 - 5^{1/4}))^2 $.

Возведем в квадрат:

$ (5^{1/2})^2 (1 - 5^{1/4})^2 = 5 \cdot (1 - 5^{1/4})^2 $.

Подставим упрощенные числитель и знаменатель в дробь:

$ \frac{(1 - 5^{1/4})^2}{5(1 - 5^{1/4})^2} $.

Сократим дробь на $(1 - 5^{1/4})^2$, так как это выражение не равно нулю:

$ \frac{1}{5} $.

Ответ: 1/5