Номер 6.16, страница 49 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

6.16. Упростите:

1) $(\left(\frac{1}{(a+1)^{\frac{1}{2}}} + (1-a)^{\frac{1}{2}}\right) : \left((1-a^2)^{\frac{1}{2}}+1\right), -1 < a < 1;$

2) $\frac{1+a^{\frac{1}{2}}}{1+a+a^{\frac{1}{2}}} : \frac{1}{1-a^{\frac{3}{2}}}, a > 0, a \neq 1.$

1)

Запишем исходное выражение, используя знаки корней вместо степеней с дробным показателем, для большей наглядности:

$\left(\frac{1}{\sqrt{a+1}} + \sqrt{1-a}\right) : \left(\sqrt{1-a^2} + 1\right)$

Условие $-1 < a < 1$ гарантирует, что все подкоренные выражения ($a+1$, $1-a$ и $1-a^2$) строго положительны, поэтому все операции с корнями корректны.

Сначала упростим выражение в первых скобках (делимое), приведя слагаемые к общему знаменателю $\sqrt{a+1}$:

$\frac{1}{\sqrt{a+1}} + \sqrt{1-a} = \frac{1 + \sqrt{1-a} \cdot \sqrt{a+1}}{\sqrt{a+1}}$

Используя свойство произведения корней $\sqrt{x} \cdot \sqrt{y} = \sqrt{xy}$, упростим числитель:

$\frac{1 + \sqrt{(1-a)(1+a)}}{\sqrt{a+1}} = \frac{1 + \sqrt{1-a^2}}{\sqrt{a+1}}$

Теперь выполним деление полученного выражения на делитель $(1 + \sqrt{1-a^2})$:

$\frac{1 + \sqrt{1-a^2}}{\sqrt{a+1}} : (1 + \sqrt{1-a^2}) = \frac{1 + \sqrt{1-a^2}}{\sqrt{a+1}} \cdot \frac{1}{1 + \sqrt{1-a^2}}$

Так как $-1 < a < 1$, то $1-a^2 > 0$, и, следовательно, $1 + \sqrt{1-a^2} \neq 0$. Мы можем сократить дробь на общий множитель $(1 + \sqrt{1-a^2})$:

$\frac{1 + \sqrt{1-a^2}}{\sqrt{a+1} \cdot (1 + \sqrt{1-a^2})} = \frac{1}{\sqrt{a+1}}$

Это выражение можно также записать в виде $(a+1)^{-\frac{1}{2}}$.

Ответ: $\frac{1}{\sqrt{a+1}}$.

2)

Дано выражение: $\frac{1+a^{\frac{1}{2}}}{1+a+a^{\frac{1}{2}}} : \frac{1}{1-a^{\frac{3}{2}}}$ при условиях $a > 0, a \neq 1$.

Заменим операцию деления на умножение на обратную дробь:

$\frac{1+a^{\frac{1}{2}}}{1+a+a^{\frac{1}{2}}} \cdot (1-a^{\frac{3}{2}})$

Чтобы упростить выражение, введем замену: пусть $x = a^{\frac{1}{2}}$. Тогда $a = x^2$ и $a^{\frac{3}{2}} = (a^{\frac{1}{2}})^3 = x^3$. Выражение примет вид:

$\frac{1+x}{1+x^2+x} \cdot (1-x^3)$

Применим формулу разности кубов $A^3-B^3 = (A-B)(A^2+AB+B^2)$ к множителю $(1-x^3)$:

$1-x^3 = (1-x)(1+x+x^2)$

Подставим это разложение обратно в наше выражение:

$\frac{1+x}{1+x^2+x} \cdot (1-x)(1+x+x^2)$

Теперь можно сократить общий множитель $(1+x+x^2)$ в числителе и знаменателе. Так как по условию $a > 0$, то $x = \sqrt{a} > 0$, и значит выражение $1+x+x^2$ всегда больше нуля.

После сокращения остается: $(1+x)(1-x)$.

Это известная формула разности квадратов $(A+B)(A-B) = A^2-B^2$:

$(1+x)(1-x) = 1^2 - x^2 = 1 - x^2$

Наконец, выполним обратную замену $x^2 = a$:

$1 - a$

Ответ: $1-a$.