Номер 7.6, страница 52 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Упростите (7.6—7.7):

7.6. 1) $(\frac{1}{\sqrt[4]{a} - 1} - \frac{\sqrt[4]{a} + 1}{\sqrt{a}}) \cdot \frac{\sqrt{a}}{\sqrt[4]{a} - 1}$;

2) $\frac{x - 1}{\sqrt{x} + 1} : \frac{\sqrt[3]{x} + 1}{\sqrt[3]{x^2} - 1} \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x} - 1} + \sqrt{x}$;

3) $(\frac{1}{a + \sqrt{a}\sqrt{b}} + \frac{1}{a - \sqrt{a}\sqrt{b}}) \cdot \frac{a^3 - b^3}{a^2 + ab + b^2}$;

4) $\frac{\sqrt{x} + 1}{x\sqrt{x} + x + \sqrt{x}} : \frac{1}{x^2 - \sqrt{x}}$;

7.6. 1)

Сначала выполним вычитание в скобках. Для этого приведем дроби к общему знаменателю. Заметим, что $\sqrt{a} = (\sqrt[4]{a})^2$. Общим знаменателем будет $(\sqrt[4]{a}-1)\sqrt{a}$.

$\left( \frac{1}{\sqrt[4]{a}-1} - \frac{\sqrt[4]{a}+1}{\sqrt{a}} \right) = \frac{1 \cdot \sqrt{a} - (\sqrt[4]{a}+1)(\sqrt[4]{a}-1)}{(\sqrt[4]{a}-1)\sqrt{a}}$

В числителе применим формулу разности квадратов $(x-y)(x+y)=x^2-y^2$:

$(\sqrt[4]{a}+1)(\sqrt[4]{a}-1) = (\sqrt[4]{a})^2 - 1^2 = \sqrt{a}-1$.

Подставим это в числитель дроби:

$\sqrt{a} - (\sqrt{a}-1) = \sqrt{a}-\sqrt{a}+1=1$.

Таким образом, выражение в скобках равно $\frac{1}{(\sqrt[4]{a}-1)\sqrt{a}}$.

Теперь умножим полученный результат на вторую дробь:

$\frac{1}{(\sqrt[4]{a}-1)\sqrt{a}} \cdot \frac{\sqrt{a}}{\sqrt[4]{a}-1} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}(\sqrt[4]{a}-1)(\sqrt[4]{a}-1)} = \frac{1}{(\sqrt[4]{a}-1)^2}$.

Ответ: $\frac{1}{(\sqrt[4]{a}-1)^2}$.

7.6. 2)

Упростим выражение по действиям слева направо.

1. Упростим первую дробь $\frac{x-1}{\sqrt{x}+1}$. Используем формулу разности квадратов для числителя $x-1 = (\sqrt{x})^2-1^2 = (\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)$:

$\frac{x-1}{\sqrt{x}+1} = \frac{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}{\sqrt{x}+1} = \sqrt{x}-1$.

2. Упростим вторую дробь $\frac{\sqrt[3]{x}+1}{\sqrt[3]{x^2}-1}$. Используем формулу разности квадратов для знаменателя $\sqrt[3]{x^2}-1 = (\sqrt[3]{x})^2-1 = (\sqrt[3]{x}-1)(\sqrt[3]{x}+1)$:

$\frac{\sqrt[3]{x}+1}{\sqrt[3]{x^2}-1} = \frac{\sqrt[3]{x}+1}{(\sqrt[3]{x}-1)(\sqrt[3]{x}+1)} = \frac{1}{\sqrt[3]{x}-1}$.

3. Подставим упрощенные выражения в исходное. Деление и умножение выполняются последовательно:

$(\sqrt{x}-1) : \frac{1}{\sqrt[3]{x}-1} \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x}-1} + \sqrt{x}$.

Деление на дробь заменяем умножением на обратную дробь:

$(\sqrt{x}-1) \cdot (\sqrt[3]{x}-1) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x}-1} + \sqrt{x}$.

Сокращаем множитель $(\sqrt[3]{x}-1)$:

$(\sqrt{x}-1) + \sqrt{x}$.

4. Выполняем сложение:

$\sqrt{x}-1 + \sqrt{x} = 2\sqrt{x}-1$.

Ответ: $2\sqrt{x}-1$.

7.6. 3)

Сначала упростим выражение в скобках, приведя дроби к общему знаменателю $(a+\sqrt{ab})(a-\sqrt{ab})$.

По формуле разности квадратов, знаменатель равен $a^2 - (\sqrt{ab})^2 = a^2 - ab = a(a-b)$.

$\frac{1}{a+\sqrt{ab}} + \frac{1}{a-\sqrt{ab}} = \frac{(a-\sqrt{ab}) + (a+\sqrt{ab})}{(a+\sqrt{ab})(a-\sqrt{ab})} = \frac{2a}{a^2-ab} = \frac{2a}{a(a-b)} = \frac{2}{a-b}$.

Теперь упростим второй множитель $\frac{a^3-b^3}{a^2+ab+b^2}$, используя формулу разности кубов $a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$:

$\frac{a^3-b^3}{a^2+ab+b^2} = \frac{(a-b)(a^2+ab+b^2)}{a^2+ab+b^2} = a-b$.

Наконец, перемножим полученные упрощенные выражения:

$\frac{2}{a-b} \cdot (a-b) = 2$.

Ответ: $2$.

7.6. 4)

Рассмотрим выражение. Деление на дробь равносильно умножению на обратную дробь.

$\frac{\sqrt{x}+1}{x\sqrt{x}+x+\sqrt{x}} : \frac{1}{x^2-\sqrt{x}} = \frac{\sqrt{x}+1}{x\sqrt{x}+x+\sqrt{x}} \cdot (x^2-\sqrt{x})$.

Разложим на множители знаменатель первой дроби и выражение $(x^2-\sqrt{x})$.

1. $x\sqrt{x}+x+\sqrt{x} = \sqrt{x}(x+\sqrt{x}+1)$.

2. $x^2-\sqrt{x} = \sqrt{x}(x\sqrt{x}-1)$. Выражение $x\sqrt{x}-1$ можно представить как разность кубов: $(\sqrt{x})^3 - 1^3 = (\sqrt{x}-1)((\sqrt{x})^2+\sqrt{x}\cdot1+1^2) = (\sqrt{x}-1)(x+\sqrt{x}+1)$.

Таким образом, $x^2-\sqrt{x} = \sqrt{x}(\sqrt{x}-1)(x+\sqrt{x}+1)$.

Подставим разложенные выражения в исходное:

$\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}(x+\sqrt{x}+1)} \cdot \sqrt{x}(\sqrt{x}-1)(x+\sqrt{x}+1)$.

Сократим общие множители $\sqrt{x}$ и $(x+\sqrt{x}+1)$ в числителе и знаменателе:

$(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}-1)$.

Применяя формулу разности квадратов, получаем:

$(\sqrt{x})^2-1^2 = x-1$.

Ответ: $x-1$.