Номер 8.1, страница 56 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Постройте схематически графики функции $y = f(x)$ (8.1-8.2):

8.1. 1) $f(x) = x^6$; 2) $f(x) = x^{-5}$; 3) $f(x) = x^{\frac{1}{4}}$; 4) $f(x) = x^{-\frac{3}{4}}$.

1) $f(x) = x^6$

Это степенная функция $y=x^p$ с натуральным четным показателем $p=6$. Ее свойства и график схожи со свойствами и графиком параболы $y=x^2$.

Свойства функции:

1. Область определения: все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность: функция четная, так как $f(-x) = (-x)^6 = x^6 = f(x)$. График функции симметричен относительно оси ординат (оси Oy).

3. Область значений: $y \ge 0$, то есть $E(f) = [0; +\infty)$.

4. Монотонность: функция убывает на промежутке $(-\infty; 0]$ и возрастает на промежутке $[0; +\infty)$. Точка $x=0$ — точка минимума.

5. Ключевые точки: график проходит через точки $(0; 0)$, $(1; 1)$ и $(-1; 1)$.

Схематический график:

График представляет собой U-образную кривую, расположенную в I и II координатных четвертях. Он симметричен относительно оси Oy и проходит через начало координат. По сравнению с графиком $y=x^2$, график $y=x^6$ более прижат к оси Ox на интервале $(-1; 1)$ и растет гораздо быстрее при $|x| > 1$.

Ответ: График функции — это симметричная относительно оси Oy кривая, проходящая через начало координат, с ветвями, направленными вверх. График расположен в верхней полуплоскости. В точке $(0;0)$ функция имеет минимум.

2) $f(x) = x^{-5}$

Это степенная функция $y=x^p$ с целым отрицательным нечетным показателем $p=-5$. Функцию можно представить в виде $f(x) = \frac{1}{x^5}$.

Свойства функции:

1. Область определения: $x \neq 0$, то есть $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Нечетность: функция нечетная, так как $f(-x) = (-x)^{-5} = -x^{-5} = -f(x)$. График функции симметричен относительно начала координат.

3. Область значений: $y \neq 0$, то есть $E(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

4. Асимптоты: ось Oy (прямая $x=0$) — вертикальная асимптота. Ось Ox (прямая $y=0$) — горизонтальная асимптота.

5. Ключевые точки: график проходит через точки $(1; 1)$ и $(-1; -1)$.

Схематический график:

График состоит из двух ветвей, расположенных в I и III координатных четвертях (аналогично гиперболе $y=1/x$). Одна ветвь в I четверти проходит через точку $(1;1)$ и приближается к осям координат. Вторая ветвь в III четверти симметрична первой относительно начала координат, проходит через точку $(-1;-1)$ и также приближается к осям.

Ответ: График функции — это кривая из двух ветвей, расположенных в I и III координатных четвертях и симметричных относительно начала координат. Оси координат являются асимптотами графика.

3) $f(x) = x^{\frac{4}{3}}$

Это степенная функция $y=x^p$ с рациональным положительным показателем $p = \frac{4}{3}$. Функцию можно представить в виде $f(x) = \sqrt[3]{x^4}$ или $f(x) = (\sqrt[3]{x})^4$.

Свойства функции:

1. Область определения: так как корень нечетной степени (кубический) извлекается из любого числа, область определения — все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность: функция четная, так как $f(-x) = ((-x)^4)^{\frac{1}{3}} = (x^4)^{\frac{1}{3}} = x^{\frac{4}{3}} = f(x)$. График симметричен относительно оси Oy.

3. Область значений: так как $x^4 \ge 0$, то и $y \ge 0$. Область значений $E(f) = [0; +\infty)$.

4. Монотонность: функция убывает на $(-\infty; 0]$ и возрастает на $[0; +\infty)$. Точка $x=0$ — точка минимума.

5. Ключевые точки: график проходит через точки $(0; 0)$, $(1; 1)$ и $(-1; 1)$.

Схематический график:

График расположен в I и II координатных четвертях, симметричен относительно оси Oy. Он проходит через начало координат, где имеет точку минимума. В точке $(0;0)$ график имеет особенность — касп (точку возврата), похожий на "клюв", касательная в котором горизонтальна.

Ответ: График функции — это симметричная относительно оси Oy кривая, расположенная в верхней полуплоскости. Ветви направлены вверх, график проходит через $(0;0)$, $(1;1)$, $(-1;1)$. В начале координат находится точка минимума и касп (острие).

4) $f(x) = x^{-\frac{3}{4}}$

Это степенная функция $y=x^p$ с рациональным отрицательным показателем $p = -\frac{3}{4}$. Функцию можно представить в виде $f(x) = \frac{1}{x^{3/4}} = \frac{1}{\sqrt[4]{x^3}}$.

Свойства функции:

1. Область определения: из-за корня четной степени (4-й) подкоренное выражение должно быть неотрицательным ($x^3 \ge 0$, что равносильно $x \ge 0$). Из-за отрицательного показателя основание степени не может быть равно нулю ($x \neq 0$). Итого, $D(f) = (0; +\infty)$.

2. Четность: область определения не симметрична относительно нуля, поэтому функция не является ни четной, ни нечетной.

3. Область значений: для $x>0$ значение функции всегда положительно, $E(f) = (0; +\infty)$.

4. Асимптоты: ось Oy (прямая $x=0$) — вертикальная асимптота, так как при $x \to 0^+$ $y \to +\infty$. Ось Ox (прямая $y=0$) — горизонтальная асимптота, так как при $x \to +\infty$ $y \to 0$.

5. Ключевые точки: график проходит через точку $(1; 1)$.

Схематический график:

График представляет собой одну ветвь, полностью расположенную в I координатной четверти. Это убывающая кривая, которая проходит через точку $(1;1)$ и асимптотически приближается к положительной полуоси Oy при $x \to 0$ и к положительной полуоси Ox при $x \to +\infty$.

Ответ: График функции — это убывающая кривая в первой координатной четверти, которая имеет вертикальную асимптоту $x=0$ и горизонтальную асимптоту $y=0$.