Номер 8.3, страница 57 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

8.3. Перечислите свойства функции $y = f(x)$ по данному графику (рис. 29):

1) Функция $y = -\frac{1}{x^2} + 2$

2) Функция $y = \frac{1}{x^2} - 1$

Рис. 29

1)

Для функции, изображенной на графике 1, перечислим ее свойства. Важно отметить, что хотя рядом с графиком приведена формула $y = -\frac{1}{x^2} + 2$, визуальное представление графика (в частности, поведение в окрестности нуля и характер монотонности) не полностью ей соответствует. Поэтому анализ проводится на основе именно графического изображения, используя числовые отметки на осях и асимптотах.

1. Область определения. Функция определена для всех действительных чисел, кроме $x=0$, где график имеет разрыв. Это видно по наличию вертикальной асимптоты.

Область определения: $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Область значений. График состоит из двух ветвей. Левая ветвь ($x<0$) принимает значения от горизонтальной асимптоты $y=2$ (не включая) до $+\infty$. Правая ветвь ($x>0$) принимает значения от $-\infty$ до горизонтальной асимптоты $y=2$ (не включая).

Область значений: $E(f) = (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.

3. Нули функции. Это точки пересечения графика с осью абсцисс ($y=0$). На графике видна одна такая точка в положительной части оси $x$. Ее координата указана как $x = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

Нуль функции: $x = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

4. Промежутки знакопостоянства.

Функция положительна ($y>0$), когда ее график находится выше оси $Ox$. Это происходит на промежутках $(-\infty; 0)$ и $(0; \frac{1}{\sqrt{2}})$.

Функция отрицательна ($y<0$), когда ее график находится ниже оси $Ox$. Это происходит на промежутке $(\frac{1}{\sqrt{2}}; +\infty)$.

5. Четность и нечетность. График функции не является симметричным ни относительно оси ординат $Oy$, ни относительно начала координат. Следовательно, это функция общего вида (ни четная, ни нечетная).

6. Промежутки монотонности.

На промежутке $(-\infty; 0)$ функция возрастает (при движении слева направо график идет вверх).

На промежутке $(0; +\infty)$ функция убывает (при движении слева направо график идет вниз).

7. Экстремумы. У функции нет точек локального максимума или минимума.

8. Асимптоты.

Вертикальная асимптота: прямая $x=0$ (ось $Oy$).

Горизонтальная асимптота: прямая $y=2$.

Ответ: Свойства функции на графике 1: область определения $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$; область значений $E(f) = (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$; нуль функции при $x = \frac{1}{\sqrt{2}}$; $f(x)>0$ при $x \in (-\infty; 0) \cup (0; \frac{1}{\sqrt{2}})$, $f(x)<0$ при $x \in (\frac{1}{\sqrt{2}}; +\infty)$; функция общего вида; возрастает на $(-\infty; 0)$ и убывает на $(0; +\infty)$; экстремумов нет; асимптоты $x=0$ и $y=2$.

2)

Для функции, изображенной на графике 2, перечислим ее свойства. График соответствует формуле $y = \frac{1}{x^2} - 4$, указанной на рисунке.

1. Область определения. Функция $y = \frac{1}{x^2} - 4$ определена для всех $x$, при которых знаменатель $x^2$ не равен нулю, то есть $x \neq 0$.

Область определения: $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Область значений. Так как $x^2 > 0$ для любого $x \neq 0$, то $\frac{1}{x^2} > 0$. Следовательно, $y = \frac{1}{x^2} - 4 > -4$. График имеет горизонтальную асимптоту $y=-4$ и уходит в $+\infty$ при $x \to 0$.

Область значений: $E(f) = (-4; +\infty)$.

3. Нули функции. Найдем $x$, при которых $y=0$:

$\frac{1}{x^2} - 4 = 0 \Rightarrow \frac{1}{x^2} = 4 \Rightarrow x^2 = \frac{1}{4} \Rightarrow x = \pm \frac{1}{2}$.

Нули функции: $x_1 = -\frac{1}{2}$, $x_2 = \frac{1}{2}$.

4. Промежутки знакопостоянства.

Функция положительна ($y>0$) при $x \in (-\infty; -\frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}; +\infty)$.

Функция отрицательна ($y<0$) при $x \in (-\frac{1}{2}; 0) \cup (0; \frac{1}{2})$.

5. Четность и нечетность. Проверим $f(-x)$:

$f(-x) = \frac{1}{(-x)^2} - 4 = \frac{1}{x^2} - 4 = f(x)$.

Так как $f(-x)=f(x)$, функция является четной. Ее график симметричен относительно оси $Oy$.

6. Промежутки монотонности.

На промежутке $(-\infty; 0)$ функция возрастает.

На промежутке $(0; +\infty)$ функция убывает.

7. Экстремумы. У функции нет точек локального максимума или минимума.

8. Асимптоты.

Вертикальная асимптота: $x=0$.

Горизонтальная асимптота: $y=-4$.

Ответ: Свойства функции на графике 2: область определения $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$; область значений $E(f) = (-4; +\infty)$; нули функции при $x = \pm\frac{1}{2}$; $f(x)>0$ при $x \in (-\infty; -\frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}; +\infty)$, $f(x)<0$ при $x \in (-\frac{1}{2}; 0) \cup (0; \frac{1}{2})$; функция четная; возрастает на $(-\infty; 0)$ и убывает на $(0; +\infty)$; экстремумов нет; асимптоты $x=0$ и $y=-4$.