Номер 8.7, страница 57 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

8.7. 1) $f(x) = \frac{2}{(x-1)^2} + 4;$

2) $f(x) = -\frac{3}{(x+2)^3} + 1,5;$

3) $f(x) = (x+1)^{-\frac{3}{2}} - 2,5;$

4) $f(x) = (x+1)^{-\frac{3}{4}} + 3,5.$

1) Для нахождения области определения функции $f(x) = \frac{2}{(x-1)^2} + 4$ необходимо учесть, что знаменатель дроби не может быть равен нулю. В данном случае знаменатель — это $(x-1)^2$. Приравняем его к нулю, чтобы найти недопустимые значения $x$:

$(x-1)^2 = 0$

$x-1 = 0$

$x = 1$

Таким образом, функция определена для всех действительных чисел $x$, кроме $x=1$.

Ответ: $D(f) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

2) Для функции $f(x) = -\frac{3}{(x+2)^3} + 1,5$ область определения также находится из условия, что знаменатель не должен обращаться в нуль. Знаменатель здесь — $(x+2)^3$. Найдем значение $x$, при котором он равен нулю:

$(x+2)^3 = 0$

$x+2 = 0$

$x = -2$

Следовательно, область определения функции — это множество всех действительных чисел, за исключением $x=-2$.

Ответ: $D(f) = (-\infty; -2) \cup (-2; +\infty)$.

3) Преобразуем функцию $f(x) = (x+1)^{-\frac{2}{3}} - 2,5$, используя свойство степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ и свойство степени с рациональным показателем $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$:

$f(x) = \frac{1}{(x+1)^{\frac{2}{3}}} - 2,5 = \frac{1}{\sqrt[3]{(x+1)^2}} - 2,5$

Корень нечетной степени (здесь — кубический) определен для любого значения подкоренного выражения. Однако, так как это выражение находится в знаменателе, оно не должно быть равно нулю.

$\sqrt[3]{(x+1)^2} = 0$

$(x+1)^2 = 0$

$x+1 = 0$

$x = -1$

Значит, функция определена для всех действительных чисел, кроме $x=-1$.

Ответ: $D(f) = (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$.

4) Преобразуем функцию $f(x) = (x+1)^{-\frac{3}{4}} + 3,5$ аналогично предыдущему пункту:

$f(x) = \frac{1}{(x+1)^{\frac{3}{4}}} + 3,5 = \frac{1}{\sqrt[4]{(x+1)^3}} + 3,5$

Здесь мы имеем дело с корнем четной степени (4-й степени) в знаменателе. Это накладывает два условия:

1. Выражение под корнем четной степени должно быть неотрицательным:

$(x+1)^3 \ge 0$

Это неравенство равносильно $x+1 \ge 0$, то есть $x \ge -1$.

2. Знаменатель не должен быть равен нулю:

$\sqrt[4]{(x+1)^3} \ne 0$

$(x+1)^3 \ne 0$

$x+1 \ne 0$, то есть $x \ne -1$.

Объединяя оба условия, $x \ge -1$ и $x \ne -1$, получаем строгое неравенство $x > -1$.

Ответ: $D(f) = (-1; +\infty)$.