Самостоятельно, страница 59 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Самостоятельно докажите, что при $\Delta x \rightarrow 0$ для $\alpha = 1$, $\alpha = 2$ выполняется равенство

$\frac{\left(1 + \frac{\Delta x}{x}\right)^\alpha - 1}{\frac{\Delta x}{x}} = \alpha$

Для α = 1:

Подставим значение $\alpha = 1$ в исходное равенство. Необходимо доказать, что $ \lim_{\Delta x \to 0} \frac{(1 + \frac{\Delta x}{x})^1 - 1}{\frac{\Delta x}{x}} = 1$.

Упростим выражение, находящееся под знаком предела. Для этого раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$ \frac{(1 + \frac{\Delta x}{x}) - 1}{\frac{\Delta x}{x}} = \frac{1 + \frac{\Delta x}{x} - 1}{\frac{\Delta x}{x}} = \frac{\frac{\Delta x}{x}}{\frac{\Delta x}{x}} $.

Поскольку в определении предела $\Delta x$ стремится к нулю, но не равно ему ($\Delta x \neq 0$), мы можем сократить числитель и знаменатель на $\frac{\Delta x}{x}$ (при $x \neq 0$). В результате получаем 1.

Таким образом, мы ищем предел от константы, который равен самой константе:

$ \lim_{\Delta x \to 0} 1 = 1$.

Полученный результат (1) совпадает со значением $\alpha$. Ответ: для $\alpha = 1$ равенство доказано.

Для α = 2:

Подставим значение $\alpha = 2$ в исходное равенство. Необходимо доказать, что $ \lim_{\Delta x \to 0} \frac{(1 + \frac{\Delta x}{x})^2 - 1}{\frac{\Delta x}{x}} = 2$.

Упростим выражение под знаком предела. Сначала раскроем квадрат суммы в числителе, используя формулу сокращенного умножения $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$ (1 + \frac{\Delta x}{x})^2 - 1 = (1^2 + 2 \cdot 1 \cdot \frac{\Delta x}{x} + (\frac{\Delta x}{x})^2) - 1 = 1 + 2\frac{\Delta x}{x} + \frac{(\Delta x)^2}{x^2} - 1 = 2\frac{\Delta x}{x} + \frac{(\Delta x)^2}{x^2}$.

Теперь подставим это выражение обратно в дробь под знаком предела:

$ \frac{2\frac{\Delta x}{x} + \frac{(\Delta x)^2}{x^2}}{\frac{\Delta x}{x}} $.

Вынесем общий множитель $\frac{\Delta x}{x}$ в числителе за скобки и затем сократим дробь:

$ \frac{\frac{\Delta x}{x}(2 + \frac{\Delta x}{x})}{\frac{\Delta x}{x}} = 2 + \frac{\Delta x}{x} $.

Теперь вычислим предел от полученного выражения при $\Delta x \to 0$:

$ \lim_{\Delta x \to 0} (2 + \frac{\Delta x}{x}) = 2 + \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta x}{x} = 2 + 0 = 2 $.

Полученный результат (2) совпадает со значением $\alpha$. Ответ: для $\alpha = 2$ равенство доказано.