Номер 8.4, страница 57 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

8.4. Найдите область определения функции $y = f(x):$

1) $f(x) = \frac{1}{x^2} - 3;$

2) $f(x) = x^{4.5} + 2;$

3) $f(x) = x^{2.5} + 2;$

4) $f(x) = -\frac{1}{x^3} + 4.$

1)

Область определения функции $f(x) = \frac{1}{x^2} - 3$ — это множество всех значений $x$, для которых функция имеет смысл. Данная функция содержит дробь, знаменатель которой не может быть равен нулю. Поэтому необходимо найти значения $x$, которые не удовлетворяют условию $x^2 = 0$.

Решим уравнение: $x^2 = 0$ $x = 0$

Таким образом, из области определения нужно исключить точку $x=0$. Областью определения являются все действительные числа, кроме нуля.

Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$

2)

Рассмотрим функцию $f(x) = x^{4.5} + 2$. Это степенная функция с показателем $a = 4.5$. Поскольку показатель степени является нецелым числом, основание степени $x$ должно быть неотрицательным. Запишем показатель в виде обыкновенной дроби: $4.5 = \frac{9}{2}$.

Функцию можно представить в виде $f(x) = x^{\frac{9}{2}} + 2 = \sqrt{x^9} + 2$.

Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $x^9 \ge 0$ Это неравенство справедливо при $x \ge 0$.

Следовательно, область определения функции — это множество всех неотрицательных чисел.

Ответ: $x \in [0; +\infty)$

3)

Рассмотрим функцию $f(x) = x^{-2.5} + 2$. Показатель степени $a = -2.5$ является отрицательным нецелым числом. Представим функцию в виде дроби: $f(x) = \frac{1}{x^{2.5}} + 2$

Запишем показатель $2.5$ в виде обыкновенной дроби: $2.5 = \frac{5}{2}$. $f(x) = \frac{1}{x^{\frac{5}{2}}} + 2 = \frac{1}{\sqrt{x^5}} + 2$

Для нахождения области определения должны выполняться два условия:

1. Выражение под знаком корня должно быть неотрицательным: $x^5 \ge 0$, что выполняется при $x \ge 0$.

2. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $\sqrt{x^5} \neq 0$, что означает $x^5 \neq 0$, и следовательно, $x \neq 0$.

Объединяя оба условия ($x \ge 0$ и $x \neq 0$), получаем, что $x$ должен быть строго положительным числом.

Ответ: $x \in (0; +\infty)$

4)

Функция $f(x) = -\frac{1}{x^3} + 4$ содержит дробь, поэтому ее знаменатель не может быть равен нулю.

Найдем значение $x$, при котором знаменатель обращается в ноль: $x^3 = 0$ $x = 0$

Это значение $x$ необходимо исключить из области определения. Таким образом, функция определена для всех действительных чисел, кроме нуля.

Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$