Номер 8.8, страница 57 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

8.8. Графическим способом найдите, сколько корней имеет уравнение:

1) $\frac{1}{x^2} = 4.5$;

2) $x^2 - x^{3.7} = 0$;

3) $\frac{1}{x^3} = x^4$;

4) $\sqrt{x} = -\frac{1}{x^2}$.

1) Чтобы найти количество корней уравнения $\frac{1}{x^2} = 4,5$ графическим способом, построим в одной системе координат графики двух функций: $y = \frac{1}{x^2}$ и $y = 4,5$.

График функции $y = \frac{1}{x^2}$ представляет собой две ветви, расположенные в I и II координатных четвертях, симметричные относительно оси OY. Ось OX является горизонтальной асимптотой, а ось OY — вертикальной асимптотой.

График функции $y = 4,5$ — это горизонтальная прямая, проходящая через точку $(0; 4,5)$ и параллельная оси OX.

Поскольку прямая $y = 4,5$ находится в верхней полуплоскости ($y > 0$), она пересекает обе ветви графика функции $y = \frac{1}{x^2}$. Таким образом, графики имеют две точки пересечения.

Ответ: 2 корня.

2) Преобразуем уравнение $x^2 - x^{3,7} = 0$ к виду $x^2 = x^{3,7}$. Рассмотрим графики функций $y = x^2$ и $y = x^{3,7}$.

Поскольку показатель степени $3,7$ не является целым числом, область определения функции $y = x^{3,7}$ ограничена неотрицательными числами, $x \ge 0$. Таким образом, мы ищем решения только для $x \ge 0$.

График $y = x^2$ — это ветвь параболы, проходящая через начало координат.

График $y = x^{3,7}$ — это график степенной функции, также проходящий через начало координат.

Найдем общие точки:при $x=0$, $y=0^2=0$ и $y=0^{3,7}=0$. Точка $(0; 0)$ — точка пересечения.при $x=1$, $y=1^2=1$ и $y=1^{3,7}=1$. Точка $(1; 1)$ — точка пересечения.При $0 < x < 1$ график $y = x^2$ лежит выше графика $y = x^{3,7}$, а при $x > 1$ — ниже. Других точек пересечения нет.

Ответ: 2 корня.

3) Для нахождения количества корней уравнения $\frac{1}{x^3} = x^4$ построим графики функций $y = \frac{1}{x^3}$ и $y = x^4$.

График функции $y = \frac{1}{x^3}$ — это гипербола, расположенная в I и III координатных четвертях.

График функции $y = x^4$ — это кривая, похожая на параболу, расположенная в I и II координатных четвертях.

Пересечение графиков возможно только там, где знаки функций совпадают, то есть в I четверти, где $x > 0$.

При $x > 0$ функция $y = \frac{1}{x^3}$ является убывающей, а функция $y = x^4$ — возрастающей. Следовательно, они могут иметь не более одной точки пересечения.

Подставив $x=1$, получаем $y = \frac{1}{1^3} = 1$ и $y = 1^4 = 1$. Значит, графики пересекаются в точке $(1; 1)$.

Ответ: 1 корень.

4) Для нахождения количества корней уравнения $\sqrt{x} = -\frac{1}{x^2}$ построим графики функций $y = \sqrt{x}$ и $y = -\frac{1}{x^2}$.

Область определения функции $y = \sqrt{x}$ — это $x \ge 0$. Для всех $x$ из этой области $y \ge 0$. График этой функции находится в I координатной четверти (и включает начало координат).

Область определения функции $y = -\frac{1}{x^2}$ — это $x \ne 0$. Для всех $x$ из этой области $x^2 > 0$, а значит $-\frac{1}{x^2} < 0$, то есть $y < 0$. График этой функции находится в III и IV координатных четвертях.

Так как на общей области определения ($x>0$) значения функции $y = \sqrt{x}$ всегда положительны, а значения функции $y = -\frac{1}{x^2}$ всегда отрицательны, равенство между ними невозможно. Их графики не пересекаются.

Ответ: нет корней.