Номер 8.5, страница 57 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

8.5. Определите множество значений функции $y = f(x)$:

1) $f(x) = x^{\frac{1}{2}} - 5$;

2) $f(x) = \frac{1}{x^4} + 3,5$;

3) $f(x) = x^{3,7} - 2$;

4) $f(x) = \frac{1}{x^5} + \frac{1}{7}$.

1) Функция задана формулой $f(x) = x^{\frac{1}{2}} - 5$. Это степенная функция с показателем $\frac{1}{2}$, что эквивалентно функции квадратного корня $f(x) = \sqrt{x} - 5$. Область определения функции $g(x) = \sqrt{x}$ — это все неотрицательные числа, то есть $x \in [0, +\infty)$. Множество значений функции $g(x) = \sqrt{x}$ также является промежутком $[0, +\infty)$. Данная функция $f(x)$ получена из функции $g(x)$ путем сдвига ее графика вдоль оси ординат на 5 единиц вниз. Следовательно, множество значений функции $f(x)$ будет $[0-5, +\infty)$, то есть $[-5, +\infty)$.

Ответ: $E(f) = [-5, +\infty)$.

2) Функция задана формулой $f(x) = \frac{1}{x^4} + 3,5$. Рассмотрим слагаемое $\frac{1}{x^4}$. Знаменатель $x^4$ всегда неотрицателен. Так как на ноль делить нельзя ($x \neq 0$), то $x^4$ всегда строго больше нуля: $x^4 > 0$. Следовательно, обратная величина $\frac{1}{x^4}$ также всегда будет строго больше нуля. Таким образом, множество значений функции $g(x) = \frac{1}{x^4}$ есть интервал $(0, +\infty)$. Функция $f(x)$ получается из $g(x)$ прибавлением константы 3,5, что соответствует сдвигу графика вверх на 3,5 единицы. Новое множество значений будет $(0 + 3,5; +\infty)$, то есть $(3,5; +\infty)$.

Ответ: $E(f) = (3,5; +\infty)$.

3) Функция задана формулой $f(x) = x^{3,7} - 2$. Это степенная функция $g(x) = x^{3,7}$ со сдвигом. Для степенных функций с нецелым показателем область определения, как правило, — неотрицательные числа, $x \in [0, +\infty)$. Поскольку показатель степени $3,7 > 0$, функция $g(x) = x^{3,7}$ является возрастающей на своей области определения. Ее наименьшее значение достигается при $x=0$ и равно $0^{3,7}=0$. При $x \to +\infty$, функция $g(x) \to +\infty$. Таким образом, множество значений функции $g(x)$ — это промежуток $[0, +\infty)$. Функция $f(x)$ получена из $g(x)$ сдвигом графика вниз на 2 единицы. Следовательно, ее множество значений будет $[0-2, +\infty)$, то есть $[-2, +\infty)$.

Ответ: $E(f) = [-2, +\infty)$.

4) Функция задана формулой $f(x) = \frac{1}{x^5} + \frac{1}{7}$. Рассмотрим слагаемое $g(x) = \frac{1}{x^5}$. Область определения этой функции — все действительные числа, кроме $x=0$. Поскольку показатель степени 5 является нечетным числом, функция $h(x) = x^5$ может принимать любые действительные значения, кроме нуля. Соответственно, обратная функция $g(x) = \frac{1}{x^5}$ также может принимать любые действительные значения, кроме нуля. Ее множество значений — $(-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$. Функция $f(x)$ получена из $g(x)$ прибавлением константы $\frac{1}{7}$, что соответствует сдвигу графика вверх на $\frac{1}{7}$. Таким образом, из множества значений "выкалывается" точка $0 + \frac{1}{7} = \frac{1}{7}$. Множество значений функции $f(x)$ будет $(-\infty, \frac{1}{7}) \cup (\frac{1}{7}, +\infty)$.

Ответ: $E(f) = (-\infty; \frac{1}{7}) \cup (\frac{1}{7}; +\infty)$.