Номер 8.6, страница 57 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Используя простейшие преобразования графиков функций постройте графики функции $y = f(x)$ (8.6-8.7):

8.6. 1) $f(x) = -\frac{1}{x^3}$;

2) $f(x) = \frac{1}{x^6} + 3,5$;

3) $f(x) = x^{0.5} - 2$;

4) $f(x) = 3 + 2x^{0.5}$.

1) Для построения графика функции $y = f(x) = -\frac{1}{x^3}$ воспользуемся методом преобразования графиков.

1. Начнем с базовой функции $y_1 = \frac{1}{x^3}$. Это степенная функция с нечетным отрицательным показателем. Ее график расположен в I и III координатных четвертях. Он имеет две ветви, симметричные относительно начала координат. Оси координат являются асимптотами графика: вертикальная асимптота $x=0$ и горизонтальная асимптота $y=0$. График проходит через точки $(1, 1)$ и $(-1, -1)$.

2. Искомая функция $y = -\frac{1}{x^3}$ получается из базовой функции $y_1$ умножением на $-1$. Преобразование вида $y = -f(x)$ соответствует симметричному отражению графика функции $y=f(x)$ относительно оси абсцисс (оси Ox).

3. Таким образом, чтобы построить график $y = -\frac{1}{x^3}$, нужно отразить график $y = \frac{1}{x^3}$ относительно оси Ox. Ветвь, которая была в I четверти, окажется в IV четверти. Ветвь, которая была в III четверти, окажется во II четверти. Асимптоты $x=0$ и $y=0$ сохраняются. Контрольные точки $(1, 1)$ и $(-1, -1)$ преобразуются в $(1, -1)$ и $(-1, 1)$ соответственно.

Ответ: График функции $f(x) = -\frac{1}{x^3}$ получается из графика функции $y = \frac{1}{x^3}$ путем его симметричного отражения относительно оси Ox.

2) Для построения графика функции $y = f(x) = \frac{1}{x^6} + 3,5$ используем метод преобразования.

1. В качестве базовой функции возьмем $y_1 = \frac{1}{x^6}$. Это степенная функция с четным отрицательным показателем. Ее график расположен в I и II координатных четвертях, он симметричен относительно оси ординат (оси Oy). Оси координат являются асимптотами: вертикальная $x=0$ и горизонтальная $y=0$. График проходит через точки $(1, 1)$ и $(-1, 1)$.

2. Искомая функция $y = \frac{1}{x^6} + 3,5$ получается из базовой функции $y_1$ путем прибавления константы $3,5$. Преобразование вида $y = f(x) + c$ соответствует параллельному переносу (сдвигу) графика функции $y=f(x)$ вдоль оси ординат на $c$ единиц вверх (если $c > 0$).

3. Следовательно, для построения графика $y = \frac{1}{x^6} + 3,5$ необходимо сдвинуть график $y = \frac{1}{x^6}$ на $3,5$ единицы вверх. Вертикальная асимптота $x=0$ останется без изменений, а горизонтальная асимптота сместится с $y=0$ на $y=3,5$. Контрольные точки $(1, 1)$ и $(-1, 1)$ переместятся в точки $(1; 1+3,5)=(1; 4,5)$ и $(-1; 1+3,5)=(-1; 4,5)$.

Ответ: График функции $f(x) = \frac{1}{x^6} + 3,5$ получается из графика функции $y = \frac{1}{x^6}$ путем его параллельного переноса на $3,5$ единицы вверх вдоль оси Oy.

3) Для построения графика функции $y = f(x) = x^{0,5} - 2$ применим метод преобразования.

1. Заметим, что $x^{0,5} = \sqrt{x}$. Таким образом, базовая функция — это $y_1 = \sqrt{x}$. График этой функции — верхняя ветвь параболы, симметричной относительно оси Ox. График начинается в точке $(0, 0)$ и проходит в I координатной четверти. Область определения $x \ge 0$, область значений $y \ge 0$. График проходит через точки $(1, 1)$ и $(4, 2)$.

2. Искомая функция $y = \sqrt{x} - 2$ получается из базовой функции $y_1$ вычитанием константы $2$. Преобразование вида $y = f(x) - c$ соответствует параллельному переносу графика функции $y=f(x)$ вдоль оси ординат на $c$ единиц вниз (если $c > 0$).

3. Значит, чтобы построить график $y = \sqrt{x} - 2$, нужно сдвинуть график $y = \sqrt{x}$ на $2$ единицы вниз. Начальная точка графика переместится из $(0, 0)$ в $(0, -2)$. Контрольные точки $(1, 1)$ и $(4, 2)$ переместятся в $(1, -1)$ и $(4, 0)$ соответственно. Область определения останется $x \ge 0$, а область значений станет $y \ge -2$.

Ответ: График функции $f(x) = x^{0,5} - 2$ получается из графика функции $y = \sqrt{x}$ путем его параллельного переноса на $2$ единицы вниз вдоль оси Oy.

4) Для построения графика функции $y = f(x) = 3 + 2x^{0,5}$ выполним последовательность преобразований.

1. Базовой функцией является $y_1 = x^{0,5} = \sqrt{x}$. Ее график — ветвь параболы, выходящая из начала координат и расположенная в I четверти.

2. Первое преобразование: построим график функции $y_2 = 2\sqrt{x}$. Преобразование вида $y = k \cdot f(x)$ при $k > 1$ соответствует растяжению графика $y=f(x)$ от оси Ox в $k$ раз. В нашем случае $k=2$. Каждая ордината графика $y_1 = \sqrt{x}$ умножается на $2$. Точка $(0, 0)$ остается на месте. Точка $(1, 1)$ переходит в $(1, 2)$, точка $(4, 2)$ — в $(4, 4)$.

3. Второе преобразование: построим искомую функцию $y = 3 + 2\sqrt{x}$, что то же самое, что и $y = 2\sqrt{x} + 3$. Это преобразование вида $y = g(x) + c$, где $g(x)=y_2=2\sqrt{x}$ и $c=3$. Оно соответствует параллельному переносу графика $y_2=2\sqrt{x}$ на $3$ единицы вверх вдоль оси Oy.

4. Таким образом, график $y_2=2\sqrt{x}$ сдвигается на 3 единицы вверх. Начальная точка графика из $(0,0)$ перемещается в $(0,3)$. Точки $(1, 2)$ и $(4, 4)$ перемещаются в $(1, 5)$ и $(4, 7)$ соответственно.

Ответ: График функции $f(x) = 3 + 2x^{0,5}$ получается из графика функции $y=\sqrt{x}$ путем его растяжения в 2 раза вдоль оси Oy с последующим параллельным переносом на 3 единицы вверх вдоль оси Oy.