Страница 57 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

8.3. Перечислите свойства функции $y = f(x)$ по данному графику (рис. 29):

1) Функция $y = -\frac{1}{x^2} + 2$

2) Функция $y = \frac{1}{x^2} - 1$

Рис. 29

1)

Для функции, изображенной на графике 1, перечислим ее свойства. Важно отметить, что хотя рядом с графиком приведена формула $y = -\frac{1}{x^2} + 2$, визуальное представление графика (в частности, поведение в окрестности нуля и характер монотонности) не полностью ей соответствует. Поэтому анализ проводится на основе именно графического изображения, используя числовые отметки на осях и асимптотах.

1. Область определения. Функция определена для всех действительных чисел, кроме $x=0$, где график имеет разрыв. Это видно по наличию вертикальной асимптоты.

Область определения: $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Область значений. График состоит из двух ветвей. Левая ветвь ($x<0$) принимает значения от горизонтальной асимптоты $y=2$ (не включая) до $+\infty$. Правая ветвь ($x>0$) принимает значения от $-\infty$ до горизонтальной асимптоты $y=2$ (не включая).

Область значений: $E(f) = (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.

3. Нули функции. Это точки пересечения графика с осью абсцисс ($y=0$). На графике видна одна такая точка в положительной части оси $x$. Ее координата указана как $x = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

Нуль функции: $x = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

4. Промежутки знакопостоянства.

Функция положительна ($y>0$), когда ее график находится выше оси $Ox$. Это происходит на промежутках $(-\infty; 0)$ и $(0; \frac{1}{\sqrt{2}})$.

Функция отрицательна ($y<0$), когда ее график находится ниже оси $Ox$. Это происходит на промежутке $(\frac{1}{\sqrt{2}}; +\infty)$.

5. Четность и нечетность. График функции не является симметричным ни относительно оси ординат $Oy$, ни относительно начала координат. Следовательно, это функция общего вида (ни четная, ни нечетная).

6. Промежутки монотонности.

На промежутке $(-\infty; 0)$ функция возрастает (при движении слева направо график идет вверх).

На промежутке $(0; +\infty)$ функция убывает (при движении слева направо график идет вниз).

7. Экстремумы. У функции нет точек локального максимума или минимума.

8. Асимптоты.

Вертикальная асимптота: прямая $x=0$ (ось $Oy$).

Горизонтальная асимптота: прямая $y=2$.

Ответ: Свойства функции на графике 1: область определения $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$; область значений $E(f) = (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$; нуль функции при $x = \frac{1}{\sqrt{2}}$; $f(x)>0$ при $x \in (-\infty; 0) \cup (0; \frac{1}{\sqrt{2}})$, $f(x)<0$ при $x \in (\frac{1}{\sqrt{2}}; +\infty)$; функция общего вида; возрастает на $(-\infty; 0)$ и убывает на $(0; +\infty)$; экстремумов нет; асимптоты $x=0$ и $y=2$.

2)

Для функции, изображенной на графике 2, перечислим ее свойства. График соответствует формуле $y = \frac{1}{x^2} - 4$, указанной на рисунке.

1. Область определения. Функция $y = \frac{1}{x^2} - 4$ определена для всех $x$, при которых знаменатель $x^2$ не равен нулю, то есть $x \neq 0$.

Область определения: $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Область значений. Так как $x^2 > 0$ для любого $x \neq 0$, то $\frac{1}{x^2} > 0$. Следовательно, $y = \frac{1}{x^2} - 4 > -4$. График имеет горизонтальную асимптоту $y=-4$ и уходит в $+\infty$ при $x \to 0$.

Область значений: $E(f) = (-4; +\infty)$.

3. Нули функции. Найдем $x$, при которых $y=0$:

$\frac{1}{x^2} - 4 = 0 \Rightarrow \frac{1}{x^2} = 4 \Rightarrow x^2 = \frac{1}{4} \Rightarrow x = \pm \frac{1}{2}$.

Нули функции: $x_1 = -\frac{1}{2}$, $x_2 = \frac{1}{2}$.

4. Промежутки знакопостоянства.

Функция положительна ($y>0$) при $x \in (-\infty; -\frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}; +\infty)$.

Функция отрицательна ($y<0$) при $x \in (-\frac{1}{2}; 0) \cup (0; \frac{1}{2})$.

5. Четность и нечетность. Проверим $f(-x)$:

$f(-x) = \frac{1}{(-x)^2} - 4 = \frac{1}{x^2} - 4 = f(x)$.

Так как $f(-x)=f(x)$, функция является четной. Ее график симметричен относительно оси $Oy$.

6. Промежутки монотонности.

На промежутке $(-\infty; 0)$ функция возрастает.

На промежутке $(0; +\infty)$ функция убывает.

7. Экстремумы. У функции нет точек локального максимума или минимума.

8. Асимптоты.

Вертикальная асимптота: $x=0$.

Горизонтальная асимптота: $y=-4$.

Ответ: Свойства функции на графике 2: область определения $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$; область значений $E(f) = (-4; +\infty)$; нули функции при $x = \pm\frac{1}{2}$; $f(x)>0$ при $x \in (-\infty; -\frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}; +\infty)$, $f(x)<0$ при $x \in (-\frac{1}{2}; 0) \cup (0; \frac{1}{2})$; функция четная; возрастает на $(-\infty; 0)$ и убывает на $(0; +\infty)$; экстремумов нет; асимптоты $x=0$ и $y=-4$.

8.4. Найдите область определения функции $y = f(x):$

1) $f(x) = \frac{1}{x^2} - 3;$

2) $f(x) = x^{4.5} + 2;$

3) $f(x) = x^{2.5} + 2;$

4) $f(x) = -\frac{1}{x^3} + 4.$

1)

Область определения функции $f(x) = \frac{1}{x^2} - 3$ — это множество всех значений $x$, для которых функция имеет смысл. Данная функция содержит дробь, знаменатель которой не может быть равен нулю. Поэтому необходимо найти значения $x$, которые не удовлетворяют условию $x^2 = 0$.

Решим уравнение: $x^2 = 0$ $x = 0$

Таким образом, из области определения нужно исключить точку $x=0$. Областью определения являются все действительные числа, кроме нуля.

Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$

2)

Рассмотрим функцию $f(x) = x^{4.5} + 2$. Это степенная функция с показателем $a = 4.5$. Поскольку показатель степени является нецелым числом, основание степени $x$ должно быть неотрицательным. Запишем показатель в виде обыкновенной дроби: $4.5 = \frac{9}{2}$.

Функцию можно представить в виде $f(x) = x^{\frac{9}{2}} + 2 = \sqrt{x^9} + 2$.

Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $x^9 \ge 0$ Это неравенство справедливо при $x \ge 0$.

Следовательно, область определения функции — это множество всех неотрицательных чисел.

Ответ: $x \in [0; +\infty)$

3)

Рассмотрим функцию $f(x) = x^{-2.5} + 2$. Показатель степени $a = -2.5$ является отрицательным нецелым числом. Представим функцию в виде дроби: $f(x) = \frac{1}{x^{2.5}} + 2$

Запишем показатель $2.5$ в виде обыкновенной дроби: $2.5 = \frac{5}{2}$. $f(x) = \frac{1}{x^{\frac{5}{2}}} + 2 = \frac{1}{\sqrt{x^5}} + 2$

Для нахождения области определения должны выполняться два условия:

1. Выражение под знаком корня должно быть неотрицательным: $x^5 \ge 0$, что выполняется при $x \ge 0$.

2. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $\sqrt{x^5} \neq 0$, что означает $x^5 \neq 0$, и следовательно, $x \neq 0$.

Объединяя оба условия ($x \ge 0$ и $x \neq 0$), получаем, что $x$ должен быть строго положительным числом.

Ответ: $x \in (0; +\infty)$

4)

Функция $f(x) = -\frac{1}{x^3} + 4$ содержит дробь, поэтому ее знаменатель не может быть равен нулю.

Найдем значение $x$, при котором знаменатель обращается в ноль: $x^3 = 0$ $x = 0$

Это значение $x$ необходимо исключить из области определения. Таким образом, функция определена для всех действительных чисел, кроме нуля.

Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$

8.5. Определите множество значений функции $y = f(x)$:

1) $f(x) = x^{\frac{1}{2}} - 5$;

2) $f(x) = \frac{1}{x^4} + 3,5$;

3) $f(x) = x^{3,7} - 2$;

4) $f(x) = \frac{1}{x^5} + \frac{1}{7}$.

1) Функция задана формулой $f(x) = x^{\frac{1}{2}} - 5$. Это степенная функция с показателем $\frac{1}{2}$, что эквивалентно функции квадратного корня $f(x) = \sqrt{x} - 5$. Область определения функции $g(x) = \sqrt{x}$ — это все неотрицательные числа, то есть $x \in [0, +\infty)$. Множество значений функции $g(x) = \sqrt{x}$ также является промежутком $[0, +\infty)$. Данная функция $f(x)$ получена из функции $g(x)$ путем сдвига ее графика вдоль оси ординат на 5 единиц вниз. Следовательно, множество значений функции $f(x)$ будет $[0-5, +\infty)$, то есть $[-5, +\infty)$.

Ответ: $E(f) = [-5, +\infty)$.

2) Функция задана формулой $f(x) = \frac{1}{x^4} + 3,5$. Рассмотрим слагаемое $\frac{1}{x^4}$. Знаменатель $x^4$ всегда неотрицателен. Так как на ноль делить нельзя ($x \neq 0$), то $x^4$ всегда строго больше нуля: $x^4 > 0$. Следовательно, обратная величина $\frac{1}{x^4}$ также всегда будет строго больше нуля. Таким образом, множество значений функции $g(x) = \frac{1}{x^4}$ есть интервал $(0, +\infty)$. Функция $f(x)$ получается из $g(x)$ прибавлением константы 3,5, что соответствует сдвигу графика вверх на 3,5 единицы. Новое множество значений будет $(0 + 3,5; +\infty)$, то есть $(3,5; +\infty)$.

Ответ: $E(f) = (3,5; +\infty)$.

3) Функция задана формулой $f(x) = x^{3,7} - 2$. Это степенная функция $g(x) = x^{3,7}$ со сдвигом. Для степенных функций с нецелым показателем область определения, как правило, — неотрицательные числа, $x \in [0, +\infty)$. Поскольку показатель степени $3,7 > 0$, функция $g(x) = x^{3,7}$ является возрастающей на своей области определения. Ее наименьшее значение достигается при $x=0$ и равно $0^{3,7}=0$. При $x \to +\infty$, функция $g(x) \to +\infty$. Таким образом, множество значений функции $g(x)$ — это промежуток $[0, +\infty)$. Функция $f(x)$ получена из $g(x)$ сдвигом графика вниз на 2 единицы. Следовательно, ее множество значений будет $[0-2, +\infty)$, то есть $[-2, +\infty)$.

Ответ: $E(f) = [-2, +\infty)$.

4) Функция задана формулой $f(x) = \frac{1}{x^5} + \frac{1}{7}$. Рассмотрим слагаемое $g(x) = \frac{1}{x^5}$. Область определения этой функции — все действительные числа, кроме $x=0$. Поскольку показатель степени 5 является нечетным числом, функция $h(x) = x^5$ может принимать любые действительные значения, кроме нуля. Соответственно, обратная функция $g(x) = \frac{1}{x^5}$ также может принимать любые действительные значения, кроме нуля. Ее множество значений — $(-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$. Функция $f(x)$ получена из $g(x)$ прибавлением константы $\frac{1}{7}$, что соответствует сдвигу графика вверх на $\frac{1}{7}$. Таким образом, из множества значений "выкалывается" точка $0 + \frac{1}{7} = \frac{1}{7}$. Множество значений функции $f(x)$ будет $(-\infty, \frac{1}{7}) \cup (\frac{1}{7}, +\infty)$.

Ответ: $E(f) = (-\infty; \frac{1}{7}) \cup (\frac{1}{7}; +\infty)$.

Используя простейшие преобразования графиков функций постройте графики функции $y = f(x)$ (8.6-8.7):

8.6. 1) $f(x) = -\frac{1}{x^3}$;

2) $f(x) = \frac{1}{x^6} + 3,5$;

3) $f(x) = x^{0.5} - 2$;

4) $f(x) = 3 + 2x^{0.5}$.

1) Для построения графика функции $y = f(x) = -\frac{1}{x^3}$ воспользуемся методом преобразования графиков.

1. Начнем с базовой функции $y_1 = \frac{1}{x^3}$. Это степенная функция с нечетным отрицательным показателем. Ее график расположен в I и III координатных четвертях. Он имеет две ветви, симметричные относительно начала координат. Оси координат являются асимптотами графика: вертикальная асимптота $x=0$ и горизонтальная асимптота $y=0$. График проходит через точки $(1, 1)$ и $(-1, -1)$.

2. Искомая функция $y = -\frac{1}{x^3}$ получается из базовой функции $y_1$ умножением на $-1$. Преобразование вида $y = -f(x)$ соответствует симметричному отражению графика функции $y=f(x)$ относительно оси абсцисс (оси Ox).

3. Таким образом, чтобы построить график $y = -\frac{1}{x^3}$, нужно отразить график $y = \frac{1}{x^3}$ относительно оси Ox. Ветвь, которая была в I четверти, окажется в IV четверти. Ветвь, которая была в III четверти, окажется во II четверти. Асимптоты $x=0$ и $y=0$ сохраняются. Контрольные точки $(1, 1)$ и $(-1, -1)$ преобразуются в $(1, -1)$ и $(-1, 1)$ соответственно.

Ответ: График функции $f(x) = -\frac{1}{x^3}$ получается из графика функции $y = \frac{1}{x^3}$ путем его симметричного отражения относительно оси Ox.

2) Для построения графика функции $y = f(x) = \frac{1}{x^6} + 3,5$ используем метод преобразования.

1. В качестве базовой функции возьмем $y_1 = \frac{1}{x^6}$. Это степенная функция с четным отрицательным показателем. Ее график расположен в I и II координатных четвертях, он симметричен относительно оси ординат (оси Oy). Оси координат являются асимптотами: вертикальная $x=0$ и горизонтальная $y=0$. График проходит через точки $(1, 1)$ и $(-1, 1)$.

2. Искомая функция $y = \frac{1}{x^6} + 3,5$ получается из базовой функции $y_1$ путем прибавления константы $3,5$. Преобразование вида $y = f(x) + c$ соответствует параллельному переносу (сдвигу) графика функции $y=f(x)$ вдоль оси ординат на $c$ единиц вверх (если $c > 0$).

3. Следовательно, для построения графика $y = \frac{1}{x^6} + 3,5$ необходимо сдвинуть график $y = \frac{1}{x^6}$ на $3,5$ единицы вверх. Вертикальная асимптота $x=0$ останется без изменений, а горизонтальная асимптота сместится с $y=0$ на $y=3,5$. Контрольные точки $(1, 1)$ и $(-1, 1)$ переместятся в точки $(1; 1+3,5)=(1; 4,5)$ и $(-1; 1+3,5)=(-1; 4,5)$.

Ответ: График функции $f(x) = \frac{1}{x^6} + 3,5$ получается из графика функции $y = \frac{1}{x^6}$ путем его параллельного переноса на $3,5$ единицы вверх вдоль оси Oy.

3) Для построения графика функции $y = f(x) = x^{0,5} - 2$ применим метод преобразования.

1. Заметим, что $x^{0,5} = \sqrt{x}$. Таким образом, базовая функция — это $y_1 = \sqrt{x}$. График этой функции — верхняя ветвь параболы, симметричной относительно оси Ox. График начинается в точке $(0, 0)$ и проходит в I координатной четверти. Область определения $x \ge 0$, область значений $y \ge 0$. График проходит через точки $(1, 1)$ и $(4, 2)$.

2. Искомая функция $y = \sqrt{x} - 2$ получается из базовой функции $y_1$ вычитанием константы $2$. Преобразование вида $y = f(x) - c$ соответствует параллельному переносу графика функции $y=f(x)$ вдоль оси ординат на $c$ единиц вниз (если $c > 0$).

3. Значит, чтобы построить график $y = \sqrt{x} - 2$, нужно сдвинуть график $y = \sqrt{x}$ на $2$ единицы вниз. Начальная точка графика переместится из $(0, 0)$ в $(0, -2)$. Контрольные точки $(1, 1)$ и $(4, 2)$ переместятся в $(1, -1)$ и $(4, 0)$ соответственно. Область определения останется $x \ge 0$, а область значений станет $y \ge -2$.

Ответ: График функции $f(x) = x^{0,5} - 2$ получается из графика функции $y = \sqrt{x}$ путем его параллельного переноса на $2$ единицы вниз вдоль оси Oy.

4) Для построения графика функции $y = f(x) = 3 + 2x^{0,5}$ выполним последовательность преобразований.

1. Базовой функцией является $y_1 = x^{0,5} = \sqrt{x}$. Ее график — ветвь параболы, выходящая из начала координат и расположенная в I четверти.

2. Первое преобразование: построим график функции $y_2 = 2\sqrt{x}$. Преобразование вида $y = k \cdot f(x)$ при $k > 1$ соответствует растяжению графика $y=f(x)$ от оси Ox в $k$ раз. В нашем случае $k=2$. Каждая ордината графика $y_1 = \sqrt{x}$ умножается на $2$. Точка $(0, 0)$ остается на месте. Точка $(1, 1)$ переходит в $(1, 2)$, точка $(4, 2)$ — в $(4, 4)$.

3. Второе преобразование: построим искомую функцию $y = 3 + 2\sqrt{x}$, что то же самое, что и $y = 2\sqrt{x} + 3$. Это преобразование вида $y = g(x) + c$, где $g(x)=y_2=2\sqrt{x}$ и $c=3$. Оно соответствует параллельному переносу графика $y_2=2\sqrt{x}$ на $3$ единицы вверх вдоль оси Oy.

4. Таким образом, график $y_2=2\sqrt{x}$ сдвигается на 3 единицы вверх. Начальная точка графика из $(0,0)$ перемещается в $(0,3)$. Точки $(1, 2)$ и $(4, 4)$ перемещаются в $(1, 5)$ и $(4, 7)$ соответственно.

Ответ: График функции $f(x) = 3 + 2x^{0,5}$ получается из графика функции $y=\sqrt{x}$ путем его растяжения в 2 раза вдоль оси Oy с последующим параллельным переносом на 3 единицы вверх вдоль оси Oy.

8.7. 1) $f(x) = \frac{2}{(x-1)^2} + 4;$

2) $f(x) = -\frac{3}{(x+2)^3} + 1,5;$

3) $f(x) = (x+1)^{-\frac{3}{2}} - 2,5;$

4) $f(x) = (x+1)^{-\frac{3}{4}} + 3,5.$

1) Для нахождения области определения функции $f(x) = \frac{2}{(x-1)^2} + 4$ необходимо учесть, что знаменатель дроби не может быть равен нулю. В данном случае знаменатель — это $(x-1)^2$. Приравняем его к нулю, чтобы найти недопустимые значения $x$:

$(x-1)^2 = 0$

$x-1 = 0$

$x = 1$

Таким образом, функция определена для всех действительных чисел $x$, кроме $x=1$.

Ответ: $D(f) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

2) Для функции $f(x) = -\frac{3}{(x+2)^3} + 1,5$ область определения также находится из условия, что знаменатель не должен обращаться в нуль. Знаменатель здесь — $(x+2)^3$. Найдем значение $x$, при котором он равен нулю:

$(x+2)^3 = 0$

$x+2 = 0$

$x = -2$

Следовательно, область определения функции — это множество всех действительных чисел, за исключением $x=-2$.

Ответ: $D(f) = (-\infty; -2) \cup (-2; +\infty)$.

3) Преобразуем функцию $f(x) = (x+1)^{-\frac{2}{3}} - 2,5$, используя свойство степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ и свойство степени с рациональным показателем $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$:

$f(x) = \frac{1}{(x+1)^{\frac{2}{3}}} - 2,5 = \frac{1}{\sqrt[3]{(x+1)^2}} - 2,5$

Корень нечетной степени (здесь — кубический) определен для любого значения подкоренного выражения. Однако, так как это выражение находится в знаменателе, оно не должно быть равно нулю.

$\sqrt[3]{(x+1)^2} = 0$

$(x+1)^2 = 0$

$x+1 = 0$

$x = -1$

Значит, функция определена для всех действительных чисел, кроме $x=-1$.

Ответ: $D(f) = (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$.

4) Преобразуем функцию $f(x) = (x+1)^{-\frac{3}{4}} + 3,5$ аналогично предыдущему пункту:

$f(x) = \frac{1}{(x+1)^{\frac{3}{4}}} + 3,5 = \frac{1}{\sqrt[4]{(x+1)^3}} + 3,5$

Здесь мы имеем дело с корнем четной степени (4-й степени) в знаменателе. Это накладывает два условия:

1. Выражение под корнем четной степени должно быть неотрицательным:

$(x+1)^3 \ge 0$

Это неравенство равносильно $x+1 \ge 0$, то есть $x \ge -1$.

2. Знаменатель не должен быть равен нулю:

$\sqrt[4]{(x+1)^3} \ne 0$

$(x+1)^3 \ne 0$

$x+1 \ne 0$, то есть $x \ne -1$.

Объединяя оба условия, $x \ge -1$ и $x \ne -1$, получаем строгое неравенство $x > -1$.

Ответ: $D(f) = (-1; +\infty)$.

8.8. Графическим способом найдите, сколько корней имеет уравнение:

1) $\frac{1}{x^2} = 4.5$;

2) $x^2 - x^{3.7} = 0$;

3) $\frac{1}{x^3} = x^4$;

4) $\sqrt{x} = -\frac{1}{x^2}$.

1) Чтобы найти количество корней уравнения $\frac{1}{x^2} = 4,5$ графическим способом, построим в одной системе координат графики двух функций: $y = \frac{1}{x^2}$ и $y = 4,5$.

График функции $y = \frac{1}{x^2}$ представляет собой две ветви, расположенные в I и II координатных четвертях, симметричные относительно оси OY. Ось OX является горизонтальной асимптотой, а ось OY — вертикальной асимптотой.

График функции $y = 4,5$ — это горизонтальная прямая, проходящая через точку $(0; 4,5)$ и параллельная оси OX.

Поскольку прямая $y = 4,5$ находится в верхней полуплоскости ($y > 0$), она пересекает обе ветви графика функции $y = \frac{1}{x^2}$. Таким образом, графики имеют две точки пересечения.

Ответ: 2 корня.

2) Преобразуем уравнение $x^2 - x^{3,7} = 0$ к виду $x^2 = x^{3,7}$. Рассмотрим графики функций $y = x^2$ и $y = x^{3,7}$.

Поскольку показатель степени $3,7$ не является целым числом, область определения функции $y = x^{3,7}$ ограничена неотрицательными числами, $x \ge 0$. Таким образом, мы ищем решения только для $x \ge 0$.

График $y = x^2$ — это ветвь параболы, проходящая через начало координат.

График $y = x^{3,7}$ — это график степенной функции, также проходящий через начало координат.

Найдем общие точки:при $x=0$, $y=0^2=0$ и $y=0^{3,7}=0$. Точка $(0; 0)$ — точка пересечения.при $x=1$, $y=1^2=1$ и $y=1^{3,7}=1$. Точка $(1; 1)$ — точка пересечения.При $0 < x < 1$ график $y = x^2$ лежит выше графика $y = x^{3,7}$, а при $x > 1$ — ниже. Других точек пересечения нет.

Ответ: 2 корня.

3) Для нахождения количества корней уравнения $\frac{1}{x^3} = x^4$ построим графики функций $y = \frac{1}{x^3}$ и $y = x^4$.

График функции $y = \frac{1}{x^3}$ — это гипербола, расположенная в I и III координатных четвертях.

График функции $y = x^4$ — это кривая, похожая на параболу, расположенная в I и II координатных четвертях.

Пересечение графиков возможно только там, где знаки функций совпадают, то есть в I четверти, где $x > 0$.

При $x > 0$ функция $y = \frac{1}{x^3}$ является убывающей, а функция $y = x^4$ — возрастающей. Следовательно, они могут иметь не более одной точки пересечения.

Подставив $x=1$, получаем $y = \frac{1}{1^3} = 1$ и $y = 1^4 = 1$. Значит, графики пересекаются в точке $(1; 1)$.

Ответ: 1 корень.

4) Для нахождения количества корней уравнения $\sqrt{x} = -\frac{1}{x^2}$ построим графики функций $y = \sqrt{x}$ и $y = -\frac{1}{x^2}$.

Область определения функции $y = \sqrt{x}$ — это $x \ge 0$. Для всех $x$ из этой области $y \ge 0$. График этой функции находится в I координатной четверти (и включает начало координат).

Область определения функции $y = -\frac{1}{x^2}$ — это $x \ne 0$. Для всех $x$ из этой области $x^2 > 0$, а значит $-\frac{1}{x^2} < 0$, то есть $y < 0$. График этой функции находится в III и IV координатных четвертях.

Так как на общей области определения ($x>0$) значения функции $y = \sqrt{x}$ всегда положительны, а значения функции $y = -\frac{1}{x^2}$ всегда отрицательны, равенство между ними невозможно. Их графики не пересекаются.

Ответ: нет корней.

8.9. Решите систему неравенств графическим способом:

1) ${ \begin{cases} y > x^2, \\ y < x + 4; \end{cases} }$

2) ${ \begin{cases} y > -x^2, \\ y < -x; \end{cases} }$

3) ${ \begin{cases} y < x^3, \\ y > x^2; \end{cases} }$

4) ${ \begin{cases} y < x^3, \\ y > -x^4. \end{cases} }$

1) Решим систему неравенств $\begin{cases} y > x^2 \\ y < x + 4 \end{cases}$ графическим способом.

Сначала построим в одной системе координат графики функций, которые являются границами областей: параболу $y = x^2$ и прямую $y = x + 4$. Так как оба неравенства строгие (используются знаки $ > $ и $ < $), обе линии на графике будут изображены пунктиром.

1. График $y = x^2$ — это стандартная парабола с вершиной в точке $(0, 0)$ и ветвями, направленными вверх. Неравенство $y > x^2$ задает множество точек, расположенных выше этой параболы (внутри нее).

2. График $y = x + 4$ — это прямая линия. Для ее построения найдем две точки, например, $(0, 4)$ и $(-4, 0)$. Неравенство $y < x + 4$ задает множество точек, расположенных ниже этой прямой.

3. Решением системы является пересечение этих двух областей: область, которая находится одновременно и выше параболы, и ниже прямой.

Найдем точки пересечения графиков, решив систему уравнений: $\begin{cases} y = x^2 \\ y = x + 4 \end{cases}$.

Приравняем правые части: $x^2 = x + 4$, что дает квадратное уравнение $x^2 - x - 4 = 0$.

Корни уравнения: $x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4(1)(-4)}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{17}}{2}$.

Таким образом, графики пересекаются в двух точках. Искомая область — это конечная область, ограниченная снизу дугой параболы $y=x^2$ и сверху отрезком прямой $y=x+4$ между точками их пересечения.

Ответ: Множество точек плоскости, заключенное между параболой $y=x^2$ и прямой $y=x+4$. Границы области не включаются.

2) Решим систему неравенств $\begin{cases} y > -x^2 \\ y < -x \end{cases}$ графическим способом.

Построим в одной системе координат графики функций $y = -x^2$ и $y = -x$. Оба неравенства строгие, поэтому линии будут пунктирными.

1. График $y = -x^2$ — это