Страница 51 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1. Есть ли отличие в преобразованиях рациональных и иррациональных выражений?

Да, между преобразованиями рациональных и иррациональных выражений существуют существенные отличия, хотя преобразования иррациональных выражений и включают в себя все методы, применяемые для рациональных.

Рациональные выражения — это выражения, составленные из чисел и переменных с помощью арифметических операций (сложение, вычитание, умножение, деление) и возведения в целую степень. Например, $ \frac{x^2+5x-3}{x-1} $. Их преобразования основаны на базовых законах алгебры: раскрытие скобок, приведение подобных слагаемых, разложение на множители (в том числе с использованием формул сокращенного умножения), приведение дробей к общему знаменателю и сокращение дробей. Основное ограничение — знаменатель не должен быть равен нулю.

Иррациональные выражения — это выражения, которые, помимо прочего, содержат операцию извлечения корня (радикала) из переменных или выражений с переменными, что эквивалентно возведению в дробную степень. Например, $ \sqrt{a+b} $ или $ \frac{x-1}{\sqrt{x}+1} $.

Ключевые отличия в преобразованиях иррациональных выражений заключаются в появлении новых правил и специфических приёмов, а также в необходимости строгого контроля за областью определения.

Во-первых, при работе с иррациональными выражениями активно применяются свойства корней, такие как:

$ \sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} $

$ \sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} $

$ (\sqrt[n]{a})^k = \sqrt[n]{a^k} $

$ \sqrt[k]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[kn]{a} $

Все эти свойства применяются с обязательным учётом области допустимых значений (ОДЗ).

Во-вторых, ограничения на область допустимых значений (ОДЗ) играют гораздо более важную роль. Выражение под корнем чётной степени (квадратным, четвёртой степени и т.д.) должно быть неотрицательным. Например, в выражении $ \sqrt{x-2} $ переменная $x$ должна удовлетворять условию $ x-2 \ge 0 $, то есть $ x \ge 2 $. Это ограничение необходимо учитывать при любых преобразованиях. Классический пример, демонстрирующий важность ОДЗ: $ \sqrt{x^2} = |x| $, а не просто $x$.

В-третьих, появляются специальные приёмы, которые не применяются к рациональным выражениям:

Уничтожение иррациональности в знаменателе (или числителе). Это один из самых распространенных приёмов. Он заключается в домножении числителя и знаменателя на сопряженное выражение. Например, чтобы упростить дробь $ \frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}} $, её умножают на $ \frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} $, получая в итоге $ \sqrt{3}+\sqrt{2} $.

Внесение/вынесение множителя из-под знака корня. Например, $ 3\sqrt{2} = \sqrt{3^2 \cdot 2} = \sqrt{18} $ или $ \sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2} $.

Применение формул сокращенного умножения для выражений, содержащих корни. Например, формула разности квадратов $ (\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b}) = a-b $ часто используется для избавления от иррациональности.

Таким образом, хотя базовые алгебраические правила являются общими, работа с иррациональными выражениями требует дополнительных знаний о свойствах корней, владения специальными приёмами и, что особенно важно, строгого контроля за областью допустимых значений.

Ответ: Да, отличия существуют. Преобразования иррациональных выражений, помимо всех методов, применимых к рациональным выражениям, включают в себя специальные приёмы, основанные на свойствах корней (например, избавление от иррациональности в знаменателе), и требуют обязательного учёта области допустимых значений (ОДЗ), так как подкоренное выражение корня чётной степени не может быть отрицательным.

7.1. Найдите значение выражения:

1) $\sqrt[3]{20+\sqrt{57}} \cdot \sqrt[3]{20-\sqrt{57}}$ ;

2) $\sqrt[4]{10-\sqrt{19}} \cdot \sqrt[4]{10+\sqrt{19}}$ ;

3) $\sqrt[4]{9-\sqrt{65}} \cdot \sqrt[4]{9+\sqrt{65}}$ ;

4) $-\frac{\sqrt[3]{(4+\sqrt{17})^2}}{\sqrt[3]{4-\sqrt{17}}} - \sqrt{17}$.

1) Для решения используем свойство произведения корней одинаковой степени $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$.

$\sqrt[3]{20+\sqrt{57}} \cdot \sqrt[3]{20-\sqrt{57}} = \sqrt[3]{(20+\sqrt{57})(20-\sqrt{57})}$

В подкоренном выражении применяем формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$:

$(20+\sqrt{57})(20-\sqrt{57}) = 20^2 - (\sqrt{57})^2 = 400 - 57 = 343$.

Теперь необходимо извлечь кубический корень:

$\sqrt[3]{343} = \sqrt[3]{7^3} = 7$.

Ответ: 7

2) Аналогично первому примеру, воспользуемся свойством произведения корней $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$.

$\sqrt[4]{10-\sqrt{19}} \cdot \sqrt[4]{10+\sqrt{19}} = \sqrt[4]{(10-\sqrt{19})(10+\sqrt{19})}$

Применяем формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:

$(10-\sqrt{19})(10+\sqrt{19}) = 10^2 - (\sqrt{19})^2 = 100 - 19 = 81$.

Извлекаем корень четвертой степени:

$\sqrt[4]{81} = \sqrt[4]{3^4} = 3$.

Ответ: 3

3) Используем то же свойство произведения корней, что и в предыдущих примерах: $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$.

$\sqrt[4]{9-\sqrt{65}} \cdot \sqrt[4]{9+\sqrt{65}} = \sqrt[4]{(9-\sqrt{65})(9+\sqrt{65})}$

Применяем формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:

$(9-\sqrt{65})(9+\sqrt{65}) = 9^2 - (\sqrt{65})^2 = 81 - 65 = 16$.

Извлекаем корень четвертой степени:

$\sqrt[4]{16} = \sqrt[4]{2^4} = 2$.

Ответ: 2

4) Сначала упростим дробь, используя свойство частного корней $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}$:

$\frac{\sqrt[3]{(4+\sqrt{17})^2}}{\sqrt[3]{4-\sqrt{17}}} = \sqrt[3]{\frac{(4+\sqrt{17})^2}{4-\sqrt{17}}}$

Умножим числитель и знаменатель подкоренного выражения на сопряженное знаменателю выражение $(4+\sqrt{17})$, чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе:

$\frac{(4+\sqrt{17})^2 \cdot (4+\sqrt{17})}{(4-\sqrt{17}) \cdot (4+\sqrt{17})} = \frac{(4+\sqrt{17})^3}{4^2 - (\sqrt{17})^2} = \frac{(4+\sqrt{17})^3}{16 - 17} = \frac{(4+\sqrt{17})^3}{-1} = -(4+\sqrt{17})^3$.

Теперь извлечем кубический корень из полученного выражения:

$\sqrt[3]{-(4+\sqrt{17})^3} = -(4+\sqrt{17})$.

Подставим результат в исходное выражение:

$- \left( -(4+\sqrt{17}) \right) - \sqrt{17} = (4+\sqrt{17}) - \sqrt{17} = 4+\sqrt{17} - \sqrt{17} = 4$.

Ответ: 4