Страница 46 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Свойства 1, 3, 4 докажите самостоятельно.

Поскольку в вопросе не указано, о каких именно свойствах идет речь, будем доказывать наиболее распространенные свойства, соответствующие данной нумерации — свойства скалярного произведения векторов. Доказательства будем проводить в координатной форме для векторов в трехмерном пространстве.

Это свойство коммутативности (переместительности) скалярного произведения: $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$.

Доказательство:

Пусть даны два вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$ с координатами в трехмерном пространстве: $\vec{a} = (a_x, a_y, a_z)$ и $\vec{b} = (b_x, b_y, b_z)$.

По определению скалярного произведения векторов в координатах:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z$

Аналогично, для скалярного произведения $\vec{b} \cdot \vec{a}$:

$\vec{b} \cdot \vec{a} = b_x a_x + b_y a_y + b_z a_z$

Так как умножение действительных чисел коммутативно (то есть, $a_x b_x = b_x a_x$, $a_y b_y = b_y a_y$ и т.д.), а сложение также коммутативно и ассоциативно, то правые части этих выражений равны:

$a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z = b_x a_x + b_y a_y + b_z a_z$

Следовательно, $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$, что и требовалось доказать.

Ответ: Скалярное произведение векторов коммутативно: $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$.

Это свойство ассоциативности (сочетательности) относительно умножения на скаляр: $(k\vec{a}) \cdot \vec{b} = k(\vec{a} \cdot \vec{b})$.

Доказательство:

Пусть даны векторы $\vec{a} = (a_x, a_y, a_z)$, $\vec{b} = (b_x, b_y, b_z)$ и некоторое действительное число (скаляр) $k$.

Нужно доказать равенство: $(k\vec{a}) \cdot \vec{b} = k(\vec{a} \cdot \vec{b})$.

Найдем координаты вектора $k\vec{a}$. По определению умножения вектора на число, каждая координата вектора умножается на это число: $k\vec{a} = (ka_x, ka_y, ka_z)$.

Теперь вычислим скалярное произведение $(k\vec{a}) \cdot \vec{b}$:

$(k\vec{a}) \cdot \vec{b} = (ka_x)b_x + (ka_y)b_y + (ka_z)b_z$

Используя сочетательное свойство умножения для действительных чисел, получаем:

$(ka_x)b_x + (ka_y)b_y + (ka_z)b_z = k(a_x b_x) + k(a_y b_y) + k(a_z b_z)$

Используя распределительное свойство умножения относительно сложения (вынесение общего множителя за скобки), вынесем скаляр $k$:

$k(a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z)$

Выражение в скобках является по определению скалярным произведением векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$. Таким образом:

$k(a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z) = k(\vec{a} \cdot \vec{b})$

Следовательно, $(k\vec{a}) \cdot \vec{b} = k(\vec{a} \cdot \vec{b})$, что и требовалось доказать.

Замечание: Аналогично доказывается и равенство $\vec{a} \cdot (k\vec{b}) = k(\vec{a} \cdot \vec{b})$.

Ответ: Скалярное произведение ассоциативно относительно умножения на скаляр: $(k\vec{a}) \cdot \vec{b} = k(\vec{a} \cdot \vec{b})$.

Это свойство скалярного квадрата вектора: скалярное произведение вектора на самого себя равно квадрату его длины (модуля): $\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2$.

Доказательство:

Пусть дан вектор $\vec{a} = (a_x, a_y, a_z)$.

По определению скалярного произведения вектора на самого себя (скалярного квадрата):

$\vec{a} \cdot \vec{a} = a_x \cdot a_x + a_y \cdot a_y + a_z \cdot a_z = a_x^2 + a_y^2 + a_z^2$

По определению длины (модуля) вектора в координатах (согласно теореме Пифагора в пространстве):

$|\vec{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2}$

Возведем модуль вектора в квадрат:

$|\vec{a}|^2 = (\sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2})^2 = a_x^2 + a_y^2 + a_z^2$

Сравнивая полученные выражения для $\vec{a} \cdot \vec{a}$ и $|\vec{a}|^2$, видим, что они тождественно равны.

Следовательно, $\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2$, что и требовалось доказать.

Ответ: Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины: $\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2$.