Страница 42 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

5.2.1)

1) $\sqrt[21]{1} = 1$;

2) $\sqrt[6]{64} = 2$;

3) $\sqrt[3]{-125} = -5$;

4) $\sqrt[17]{0} = 0.$

1) Проверим равенство $\sqrt[21]{1} = 1$.

По определению корня n-ой степени, $\sqrt[n]{a} = b$ тогда и только тогда, когда $b^n = a$. В данном случае $n=21$, $a=1$, $b=1$.

Нам нужно проверить, выполняется ли условие $1^{21} = 1$.

Число 1 в любой степени равно 1. Таким образом, $1^{21} = 1$.

Равенство верно.

Ответ: верно.

2) Проверим равенство $\sqrt[6]{64} = 2$.

По определению арифметического корня n-ой степени (поскольку показатель корня 6 — чётное число), равенство $\sqrt[n]{a} = b$ верно, если выполняются два условия: $b \ge 0$ и $b^n = a$.

В нашем случае $n=6$, $a=64$, $b=2$.

1. Проверяем первое условие: $2 \ge 0$. Условие выполняется.

2. Проверяем второе условие: $2^6 = 64$. Вычислим $2^6$: $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 16 \cdot 4 = 64$. Условие выполняется.

Поскольку оба условия выполнены, равенство верно.

Ответ: верно.

3) Проверим равенство $\sqrt[3]{-125} = -5$.

Поскольку показатель корня 3 — нечётное число, корень из отрицательного числа существует и является отрицательным числом. По определению корня нечетной степени, $\sqrt[n]{a} = b$, если $b^n = a$.

Здесь $n=3$, $a=-125$, $b=-5$.

Нам нужно проверить, выполняется ли условие $(-5)^3 = -125$.

Вычислим $(-5)^3$: $(-5) \cdot (-5) \cdot (-5) = 25 \cdot (-5) = -125$.

Условие выполняется, следовательно, равенство верно.

Ответ: верно.

4) Проверим равенство $\sqrt[17]{0} = 0$.

По определению корня n-ой степени, $\sqrt[n]{a} = b$ тогда и только тогда, когда $b^n = a$.

В данном случае $n=17$, $a=0$, $b=0$.

Нам нужно проверить, выполняется ли условие $0^{17} = 0$.

Ноль в любой положительной степени равен нулю. Таким образом, $0^{17} = 0$.

Равенство верно.

Ответ: верно.

Вычислите (5.3–5.4):

5.3. 1) $\sqrt[5]{-32}$;

2) $\sqrt[4]{81}$;

3) $\sqrt[3]{-64}$;

4) $\sqrt[3]{-216}$.

1) Чтобы вычислить корень нечетной степени из отрицательного числа, можно вынести знак минуса за знак корня. Выражение $\sqrt[5]{-32}$ означает, что нужно найти число $x$, такое что $x^5 = -32$.

$\sqrt[5]{-32} = -\sqrt[5]{32}$.

Теперь найдем число, которое при возведении в пятую степень дает 32. Это число 2, поскольку $2^5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32$.

Следовательно, $\sqrt[5]{-32} = -2$.

Ответ: -2

2) Чтобы вычислить $\sqrt[4]{81}$, нужно найти неотрицательное число $x$, такое что $x^4 = 81$.

Представим число 81 в виде степени с показателем 4. Мы знаем, что $81 = 9 \cdot 9 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 3^4$.

Тогда $\sqrt[4]{81} = \sqrt[4]{3^4}$.

По определению арифметического корня, $\sqrt[n]{a^n} = |a|$. Так как в нашем случае $a=3$ (положительное число), то $\sqrt[4]{3^4} = 3$.

Ответ: 3

3) Вычисление $\sqrt[3]{-64}$ сводится к нахождению числа $x$, которое в кубе (в третьей степени) равно -64, то есть $x^3 = -64$.

Поскольку степень корня (3) нечетная, мы можем вынести минус из-под знака корня: $\sqrt[3]{-64} = -\sqrt[3]{64}$.

Теперь найдем число, куб которого равен 64. Это число 4, так как $4^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 64$.

Таким образом, $\sqrt[3]{-64} = -4$.

Ответ: -4

4) Чтобы вычислить $\sqrt[3]{-216}$, нужно найти число $x$, для которого выполняется равенство $x^3 = -216$.

Так как степень корня (3) нечетная, знак минус можно вынести за знак корня: $\sqrt[3]{-216} = -\sqrt[3]{216}$.

Найдем число, которое при возведении в куб дает 216. Это число 6, так как $6^3 = 6 \cdot 6 \cdot 6 = 36 \cdot 6 = 216$.

Следовательно, $\sqrt[3]{-216} = -6$.

Ответ: -6

5.4. 1) $\sqrt[3]{\frac{27}{64}}$;

2) $\sqrt[4]{\frac{625}{81}}$;

3) $\sqrt[3]{-\frac{27}{8}}$;

4) $\sqrt[4]{\frac{256}{81}}$.

1) Для вычисления выражения $\sqrt[3]{\frac{27}{64}}$ воспользуемся свойством корня из дроби, которое гласит, что корень из частного равен частному корней: $\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$.

Применим это свойство: $\sqrt[3]{\frac{27}{64}} = \frac{\sqrt[3]{27}}{\sqrt[3]{64}}$.

Далее, вычислим кубический корень из числителя и знаменателя. Представим подкоренные выражения в виде кубов чисел:

$27 = 3^3$

$64 = 4^3$

Теперь извлечение корня становится очевидным:

$\frac{\sqrt[3]{3^3}}{\sqrt[3]{4^3}} = \frac{3}{4}$.

Ответ: $\frac{3}{4}$.

2) Аналогично предыдущему примеру, для вычисления $\sqrt[4]{\frac{625}{81}}$ применим свойство корня из дроби: $\sqrt[4]{\frac{625}{81}} = \frac{\sqrt[4]{625}}{\sqrt[4]{81}}$.

Представим числа 625 и 81 в виде четвертой степени некоторых чисел:

$625 = 5^4$ (поскольку $5 \times 5 = 25$, $25 \times 5 = 125$, $125 \times 5 = 625$)

$81 = 3^4$ (поскольку $3 \times 3 = 9$, $9 \times 3 = 27$, $27 \times 3 = 81$)

Подставим эти значения в выражение:

$\frac{\sqrt[4]{5^4}}{\sqrt[4]{3^4}} = \frac{5}{3}$.

Ответ можно также записать в виде смешанной дроби $1\frac{2}{3}$.

Ответ: $\frac{5}{3}$.

3) Для вычисления корня нечетной степени из отрицательного числа $\sqrt[3]{-\frac{27}{8}}$ можно вынести знак минус за знак корня: $\sqrt[3]{-a} = -\sqrt[3]{a}$.

$\sqrt[3]{-\frac{27}{8}} = -\sqrt[3]{\frac{27}{8}}$.

Теперь, как и ранее, применяем свойство корня из дроби:

$-\sqrt[3]{\frac{27}{8}} = -\frac{\sqrt[3]{27}}{\sqrt[3]{8}}$.

Находим кубические корни из числителя и знаменателя:

$\sqrt[3]{27} = \sqrt[3]{3^3} = 3$

$\sqrt[3]{8} = \sqrt[3]{2^3} = 2$

Подставляем найденные значения, не забывая про знак минус:

$-\frac{3}{2}$.

Ответ можно представить в виде десятичной дроби $-1.5$ или смешанной дроби $-1\frac{1}{2}$.

Ответ: $-\frac{3}{2}$.

4) Для вычисления выражения $\sqrt[4]{\frac{256}{81}}$ снова используем свойство корня из дроби: $\sqrt[4]{\frac{256}{81}} = \frac{\sqrt[4]{256}}{\sqrt[4]{81}}$.

Найдем, какие числа в четвертой степени дают 256 и 81.

Для знаменателя мы уже знаем, что $81 = 3^4$.

Для числителя: $4^4 = 4 \times 4 \times 4 \times 4 = 16 \times 16 = 256$.

Таким образом, $\sqrt[4]{256}=4$ и $\sqrt[4]{81}=3$.

Подставляем значения в дробь:

$\frac{\sqrt[4]{4^4}}{\sqrt[4]{3^4}} = \frac{4}{3}$.

Этот ответ можно записать в виде смешанной дроби $1\frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{4}{3}$.

Решите уравнения (5.5—5.6):

5.5. 1) $x^3 + 8 = 0$; 2) $x^6 = 7$; 3) $x^3 = 4$; 4) $x^4 = 16$.

1) $x^3 + 8 = 0$

Перенесем 8 в правую часть уравнения, изменив знак:

$x^3 = -8$

Чтобы найти $x$, необходимо извлечь кубический корень (корень нечетной степени) из обеих частей уравнения. Корень нечетной степени из отрицательного числа существует и является отрицательным.

$x = \sqrt[3]{-8}$

Так как $(-2)^3 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = -8$, то $x = -2$.

Ответ: $x = -2$.

2) $x^6 = 7$

В данном уравнении переменная находится в четной степени (6), а правая часть уравнения — положительное число (7). Такое уравнение имеет два действительных корня, которые являются противоположными числами.

Чтобы найти $x$, извлечем корень шестой степени из обеих частей уравнения:

$x = \pm\sqrt[6]{7}$

Ответ: $x_1 = \sqrt[6]{7}, x_2 = -\sqrt[6]{7}$.

3) $x^3 = 4$

В этом уравнении переменная находится в нечетной степени (3). Уравнение такого вида всегда имеет один действительный корень.

Для нахождения $x$ извлечем кубический корень из обеих частей уравнения:

$x = \sqrt[3]{4}$

Так как 4 не является точным кубом целого числа, ответ остается в виде иррационального числа.

Ответ: $x = \sqrt[3]{4}$.

4) $x^4 = 16$

Здесь переменная находится в четной степени (4), а правая часть — положительное число (16). Следовательно, уравнение имеет два действительных корня.

Извлечем корень четвертой степени из обеих частей уравнения:

$x = \pm\sqrt[4]{16}$

Найдем значение корня. Число, которое при возведении в четвертую степень дает 16, это 2, так как $2^4 = 16$.

Таким образом, корни уравнения: $x = \pm2$.

Ответ: $x_1 = 2, x_2 = -2$.

5.6. 1) $16x^4 - 1 = 0;$

2) $0,01x^3 + 10 = 0;$

3) $x^7 + 128 = 0;$

4) $x^6 - 64 = 0.$

1) Дано уравнение $16x^4 - 1 = 0$.

Перенесем свободный член в правую часть уравнения:

$16x^4 = 1$

Разделим обе части на коэффициент при $x^4$, то есть на 16:

$x^4 = \frac{1}{16}$

Теперь извлечем корень четвертой степени из обеих частей уравнения. Так как показатель степени (4) является четным числом, уравнение будет иметь два действительных корня, которые являются противоположными числами.

$x = \pm \sqrt[4]{\frac{1}{16}}$

Поскольку $2^4 = 16$, то $\sqrt[4]{16} = 2$.

$x = \pm \frac{1}{2}$

Корни уравнения: $x_1 = \frac{1}{2}$ и $x_2 = -\frac{1}{2}$.

Ответ: $\pm\frac{1}{2}$.

2) Дано уравнение $0,01x^3 + 10 = 0$.

Перенесем свободный член в правую часть уравнения:

$0,01x^3 = -10$

Разделим обе части на коэффициент при $x^3$, то есть на 0,01 (что равносильно умножению на 100):

$x^3 = \frac{-10}{0,01}$

$x^3 = -1000$

Теперь извлечем корень третьей степени из обеих частей уравнения. Так как показатель степени (3) является нечетным числом, уравнение будет иметь один действительный корень.

$x = \sqrt[3]{-1000}$

Поскольку $(-10)^3 = -1000$, то корень равен -10.

$x = -10$

Ответ: -10.

3) Дано уравнение $x^7 + 128 = 0$.

Перенесем свободный член в правую часть уравнения:

$x^7 = -128$

Извлечем корень седьмой степени из обеих частей уравнения. Так как показатель степени (7) является нечетным числом, уравнение будет иметь один действительный корень.

$x = \sqrt[7]{-128}$

Найдем число, которое при возведении в седьмую степень дает -128. Мы знаем, что $2^7 = 128$, следовательно, $(-2)^7 = -128$.

$x = -2$

Ответ: -2.

4) Дано уравнение $x^6 - 64 = 0$.

Перенесем свободный член в правую часть уравнения:

$x^6 = 64$

Извлечем корень шестой степени из обеих частей уравнения. Так как показатель степени (6) является четным числом, уравнение будет иметь два действительных корня.

$x = \pm \sqrt[6]{64}$

Мы знаем, что $2^6 = 64$.

$x = \pm 2$

Корни уравнения: $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.

Ответ: $\pm2$.

Найдите значения выражений (5.7–5.11):

5.7.1) $(- \sqrt[4]{13})^4$;

2) $(3 \sqrt[5]{-3})^5$;

3) $(\sqrt[3]{7})^3$;

4) $(-\sqrt[6]{2})^6$.

1) Для вычисления значения выражения $(-\sqrt[4]{13})^4$ воспользуемся свойством степени с четным показателем: $(-a)^{2k} = a^{2k}$. Таким образом, $(-\sqrt[4]{13})^4 = (\sqrt[4]{13})^4$. По определению корня n-ой степени $(\sqrt[n]{b})^n = b$, получаем $(\sqrt[4]{13})^4 = 13$. Ответ: 13

2) Чтобы найти значение выражения $(3\sqrt[5]{-3})^5$, используем свойство степени произведения $(ab)^n = a^n b^n$. Получаем $3^5 \cdot (\sqrt[5]{-3})^5$. По определению корня n-ой степени $(\sqrt[n]{c})^n = c$, имеем $(\sqrt[5]{-3})^5 = -3$. Вычисляем $3^5 = 243$. Перемножаем результаты: $243 \cdot (-3) = -729$. Ответ: -729

3) Для выражения $(\sqrt[9]{7})^3$ воспользуемся свойством $(\sqrt[n]{a})^m = \sqrt[n]{a^m}$. Получаем $(\sqrt[9]{7})^3 = \sqrt[9]{7^3}$. Выражение можно упростить, используя свойство $\sqrt[nk]{a^{mk}} = \sqrt[n]{a^m}$. Поскольку $9 = 3 \cdot 3$ и $3 = 1 \cdot 3$, мы можем сократить индекс корня и показатель степени на их общий делитель 3: $\sqrt[9]{7^3} = \sqrt[9/3]{7^{3/3}} = \sqrt[3]{7}$. Ответ: $\sqrt[3]{7}$

4) В выражении $(-\sqrt[6]{2})^6$ показатель степени 6 является четным числом, поэтому $(-a)^{2k} = a^{2k}$. Следовательно, $(-\sqrt[6]{2})^6 = (\sqrt[6]{2})^6$. Согласно определению корня n-ой степени $(\sqrt[n]{b})^n = b$, получаем $(\sqrt[6]{2})^6 = 2$. Ответ: 2

5.8. 1) $\sqrt[3]{625 \cdot 81}$

2) $\sqrt[5]{243 \cdot 32}$

3) $\sqrt[3]{8 \cdot 27}$

4) $\sqrt[4]{0.0001 \cdot 81}$

1) Для вычисления значения выражения $\sqrt[4]{625 \cdot 81}$ воспользуемся свойством корня из произведения, согласно которому корень из произведения равен произведению корней: $\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$.

Применим это свойство к нашему выражению:

$\sqrt[4]{625 \cdot 81} = \sqrt[4]{625} \cdot \sqrt[4]{81}$.

Теперь вычислим каждый корень отдельно:

$\sqrt[4]{625} = 5$, так как $5^4 = 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 625$.

$\sqrt[4]{81} = 3$, так как $3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81$.

Перемножим полученные результаты:

$5 \cdot 3 = 15$.

Ответ: 15

2) Для вычисления выражения $\sqrt[5]{243 \cdot 32}$ используем то же свойство корня из произведения: $\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$.

Разделим корень на два множителя:

$\sqrt[5]{243 \cdot 32} = \sqrt[5]{243} \cdot \sqrt[5]{32}$.

Вычислим каждый корень отдельно:

$\sqrt[5]{243} = 3$, так как $3^5 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 243$.

$\sqrt[5]{32} = 2$, так как $2^5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32$.

Теперь найдем их произведение:

$3 \cdot 2 = 6$.

Ответ: 6

3) Вычислим значение выражения $\sqrt[3]{8 \cdot 27}$, применив свойство корня из произведения: $\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$.

Получаем:

$\sqrt[3]{8 \cdot 27} = \sqrt[3]{8} \cdot \sqrt[3]{27}$.

Найдем значения кубических корней:

$\sqrt[3]{8} = 2$, так как $2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$.

$\sqrt[3]{27} = 3$, так как $3^3 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 27$.

Перемножим результаты:

$2 \cdot 3 = 6$.

Ответ: 6

4) Для вычисления выражения $\sqrt[4]{0.0001 \cdot 81}$ снова воспользуемся свойством корня из произведения: $\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$.

Применяем свойство:

$\sqrt[4]{0.0001 \cdot 81} = \sqrt[4]{0.0001} \cdot \sqrt[4]{81}$.

Вычислим каждый корень отдельно:

$\sqrt[4]{0.0001} = 0.1$, так как $(0.1)^4 = 0.1 \cdot 0.1 \cdot 0.1 \cdot 0.1 = 0.0001$.

$\sqrt[4]{81} = 3$, так как $3^4 = 81$.

Найдем произведение полученных значений:

$0.1 \cdot 3 = 0.3$.

Ответ: 0.3

5.9. 1) $\sqrt[3]{625 \cdot 160}$;

2) $\sqrt[3]{24 \cdot 9}$;

3) $\sqrt[3]{27 \cdot 48}$;

4) $\sqrt[3]{45 \cdot 75}$.

1) Чтобы вычислить значение выражения $\sqrt[3]{625 \cdot 160}$, воспользуемся свойством корня из произведения: $\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$. Для этого разложим числа под корнем на простые множители и сгруппируем их так, чтобы получить полные кубы.

Разложим на множители числа 625 и 160:

$625 = 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 5^4$

$160 = 16 \cdot 10 = (2 \cdot 8) \cdot (2 \cdot 5) = 2^4 \cdot 2 \cdot 5 = 2^5 \cdot 5$

Теперь перемножим эти разложения под корнем:

$\sqrt[3]{625 \cdot 160} = \sqrt[3]{5^4 \cdot (2^5 \cdot 5)} = \sqrt[3]{5^5 \cdot 2^5} = \sqrt[3]{(5 \cdot 2)^5} = \sqrt[3]{10^5}$

Представим $10^5$ как $10^3 \cdot 10^2$, чтобы извлечь кубический корень из $10^3$:

$\sqrt[3]{10^3 \cdot 10^2} = \sqrt[3]{10^3} \cdot \sqrt[3]{10^2} = 10\sqrt[3]{100}$.

Ответ: $10\sqrt[3]{100}$.

2) Для вычисления выражения $\sqrt[3]{24 \cdot 9}$ разложим подкоренные числа на простые множители.

$24 = 8 \cdot 3 = 2^3 \cdot 3$

$9 = 3^2$

Перемножим разложения под знаком корня:

$\sqrt[3]{24 \cdot 9} = \sqrt[3]{(2^3 \cdot 3) \cdot 3^2} = \sqrt[3]{2^3 \cdot 3^3}$

Используя свойство $\sqrt[n]{a^n \cdot b^n} = ab$, получаем:

$\sqrt[3]{2^3 \cdot 3^3} = \sqrt[3]{(2 \cdot 3)^3} = \sqrt[3]{6^3} = 6$.

Ответ: 6.

3) Для вычисления выражения $\sqrt[4]{27 \cdot 48}$ разложим подкоренные числа на простые множители.

$27 = 3^3$

$48 = 16 \cdot 3 = 2^4 \cdot 3$

Перемножим разложения под знаком корня:

$\sqrt[4]{27 \cdot 48} = \sqrt[4]{3^3 \cdot (2^4 \cdot 3)} = \sqrt[4]{2^4 \cdot 3^4}$

Используя свойство $\sqrt[n]{a^n \cdot b^n} = ab$, получаем:

$\sqrt[4]{2^4 \cdot 3^4} = \sqrt[4]{(2 \cdot 3)^4} = \sqrt[4]{6^4} = 6$.

Ответ: 6.

4) Для вычисления выражения $\sqrt[3]{45 \cdot 75}$ разложим подкоренные числа на простые множители.

$45 = 9 \cdot 5 = 3^2 \cdot 5$

$75 = 25 \cdot 3 = 5^2 \cdot 3$

Перемножим разложения под знаком корня:

$\sqrt[3]{45 \cdot 75} = \sqrt[3]{(3^2 \cdot 5) \cdot (5^2 \cdot 3)} = \sqrt[3]{3^3 \cdot 5^3}$

Используя свойство $\sqrt[n]{a^n \cdot b^n} = ab$, получаем:

$\sqrt[3]{3^3 \cdot 5^3} = \sqrt[3]{(3 \cdot 5)^3} = \sqrt[3]{15^3} = 15$.

Ответ: 15.

5.10. 1) $\sqrt[4]{4} \cdot \sqrt[8]{8}$;

2) $\sqrt[3]{16} \cdot \sqrt[4]{-8}$;

3) $\sqrt[5]{27} \cdot \sqrt[5]{9}$;

4) $\sqrt[3]{-25} \cdot \sqrt[6]{25}$.

1) Для того чтобы перемножить корни с разными показателями, представим их в виде степеней с рациональными показателями, используя формулу $\sqrt[n]{a^m} = a^{m/n}$. Сначала представим подкоренные выражения в виде степеней числа 2, так как $4 = 2^2$ и $8 = 2^3$.

$\sqrt[4]{4} = \sqrt[4]{2^2} = 2^{2/4} = 2^{1/2}$

$\sqrt[8]{8} = \sqrt[8]{2^3} = 2^{3/8}$

Теперь перемножим полученные степени. При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$):

$2^{1/2} \cdot 2^{3/8} = 2^{1/2 + 3/8}$

Приведем дроби в показателе к общему знаменателю:

$2^{4/8 + 3/8} = 2^{7/8}$

Запишем результат обратно в виде корня:

$2^{7/8} = \sqrt[8]{2^7} = \sqrt[8]{128}$

Ответ: $\sqrt[8]{128}$.

2) Упростим каждый множитель по отдельности. Для этого найдем кубические корни из чисел.

Корень кубический из -8:

$\sqrt[3]{-8} = \sqrt[3]{(-2)^3} = -2$

Теперь упростим корень кубический из 16, вынеся множитель из-под знака корня:

$\sqrt[3]{16} = \sqrt[3]{8 \cdot 2} = \sqrt[3]{2^3 \cdot 2} = 2\sqrt[3]{2}$

Перемножим полученные выражения:

$2\sqrt[3]{2} \cdot (-2) = -4\sqrt[3]{2}$

Ответ: $-4\sqrt[3]{2}$.

3) Поскольку показатели корней одинаковы (равны 5), мы можем использовать свойство произведения корней: $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$.

$\sqrt[5]{27} \cdot \sqrt[5]{9} = \sqrt[5]{27 \cdot 9}$

Чтобы упростить вычисление, представим подкоренные выражения в виде степеней числа 3: $27 = 3^3$ и $9 = 3^2$.

$\sqrt[5]{3^3 \cdot 3^2} = \sqrt[5]{3^{3+2}} = \sqrt[5]{3^5}$

Так как показатель корня и показатель степени подкоренного выражения равны, результат равен основанию степени:

$\sqrt[5]{3^5} = 3$

Ответ: $3$.

4) Показатели корней одинаковы (равны 3), поэтому воспользуемся свойством произведения корней: $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$.

$\sqrt[3]{-25} \cdot \sqrt[3]{25} = \sqrt[3]{-25 \cdot 25} = \sqrt[3]{-625}$

Теперь упростим полученное выражение, вынеся множитель из-под знака корня. Для этого разложим 625 на множители так, чтобы один из них был кубом числа:

$625 = 125 \cdot 5 = 5^3 \cdot 5$

Подставим это в наше выражение:

$\sqrt[3]{-625} = \sqrt[3]{-125 \cdot 5} = \sqrt[3]{(-5)^3 \cdot 5}$

Выносим куб из-под знака корня:

$\sqrt[3]{(-5)^3} \cdot \sqrt[3]{5} = -5\sqrt[3]{5}$

Ответ: $-5\sqrt[3]{5}$.

5.11. 1) $\frac{\sqrt[3]{-64}}{\sqrt[3]{-8}};$

2) $\frac{\sqrt[4]{128}}{\sqrt[4]{8}};$

3) $\frac{\sqrt[3]{243}}{\sqrt[3]{-9}};$

4) $\frac{\sqrt[6]{128}}{\sqrt[6]{2}}.$

1) Чтобы решить данное выражение, воспользуемся свойством частного корней: $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}$. Применим это свойство к нашему выражению: $\frac{\sqrt[3]{-64}}{\sqrt[3]{-8}} = \sqrt[3]{\frac{-64}{-8}}$. Выполним деление под корнем: $\frac{-64}{-8} = 8$. Теперь выражение выглядит так: $\sqrt[3]{8}$. Кубический корень из 8 равен 2, так как $2^3 = 8$.

Ответ: 2.

2) Используем то же свойство частного корней: $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}$. $\frac{\sqrt[4]{128}}{\sqrt[4]{8}} = \sqrt[4]{\frac{128}{8}}$. Выполним деление под знаком корня: $128 \div 8 = 16$. Получаем выражение: $\sqrt[4]{16}$. Корень четвертой степени из 16 равен 2, потому что $2^4 = 16$.

Ответ: 2.

3) Снова применяем свойство частного корней: $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}$. $\frac{\sqrt[3]{243}}{\sqrt[3]{-9}} = \sqrt[3]{\frac{243}{-9}}$. Выполним деление подкоренного выражения: $243 \div (-9) = -27$. Выражение принимает вид: $\sqrt[3]{-27}$. Кубический корень из -27 равен -3, так как $(-3)^3 = -27$.

Ответ: -3.

4) Применяем свойство частного корней: $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}$. $\frac{\sqrt[6]{128}}{\sqrt[6]{2}} = \sqrt[6]{\frac{128}{2}}$. Выполним деление под корнем: $128 \div 2 = 64$. Теперь нам нужно найти $\sqrt[6]{64}$. Корень шестой степени из 64 равен 2, поскольку $2^6 = 64$.

Ответ: 2.

5.12. Вынесите множитель из-под корня ($x > 0$, $y > 0$):

1) $\sqrt[6]{64x^{11}y^{13}}$;

2) $\sqrt[4]{256x^8y^9}$;

3) $\sqrt[3]{54x^{12}y^{13}}$;

4) $\sqrt{16x^5y^7}$.

1) Чтобы вынести множитель из-под корня $\sqrt[6]{64x^{11}y^{13}}$, представим подкоренное выражение в виде произведения множителей, степени которых кратны показателю корня, то есть 6. По условию $x > 0$ и $y > 0$.

Разложим число 64 на множители: $64 = 2^6$.

Представим степени переменных в виде произведения, где один из множителей имеет степень, кратную 6:

$x^{11} = x^{6+5} = x^6 \cdot x^5$

$y^{13} = y^{12+1} = y^{12} \cdot y^1 = (y^2)^6 \cdot y$

Подставим полученные выражения под знак корня:

$\sqrt[6]{64x^{11}y^{13}} = \sqrt[6]{2^6 \cdot x^6 \cdot x^5 \cdot (y^2)^6 \cdot y}$

Сгруппируем множители, являющиеся полными шестыми степенями:

$\sqrt[6]{(2^6 \cdot x^6 \cdot (y^2)^6) \cdot (x^5y)} = \sqrt[6]{(2xy^2)^6 \cdot x^5y}$

Используя свойство корня $\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}$ и то, что $\sqrt[n]{a^n} = a$ при $a > 0$, вынесем множитель:

$\sqrt[6]{(2xy^2)^6} \cdot \sqrt[6]{x^5y} = 2xy^2\sqrt[6]{x^5y}$

Ответ: $2xy^2\sqrt[6]{x^5y}$.

2) Рассмотрим выражение $\sqrt[4]{256x^{-8}y^9}$. Показатель корня равен 4. По условию $x > 0$ и $y > 0$.

Разложим число 256: $256 = 4^4$.

Представим степени переменных:

$x^{-8} = (x^{-2})^4$

$y^9 = y^{8+1} = y^8 \cdot y = (y^2)^4 \cdot y$

Подставим разложения в подкоренное выражение:

$\sqrt[4]{256x^{-8}y^9} = \sqrt[4]{4^4 \cdot (x^{-2})^4 \cdot (y^2)^4 \cdot y}$

Сгруппируем множители, являющиеся полными четвертыми степенями:

$\sqrt[4]{(4^4 \cdot (x^{-2})^4 \cdot (y^2)^4) \cdot y} = \sqrt[4]{(4x^{-2}y^2)^4 \cdot y}$

Вынесем множитель из-под знака корня:

$\sqrt[4]{(4x^{-2}y^2)^4} \cdot \sqrt[4]{y} = 4x^{-2}y^2\sqrt[4]{y}$

Запишем множитель с отрицательной степенью в виде дроби:

$4x^{-2}y^2\sqrt[4]{y} = \frac{4y^2}{x^2}\sqrt[4]{y}$

Ответ: $\frac{4y^2}{x^2}\sqrt[4]{y}$.

3) Рассмотрим выражение $\sqrt[3]{54x^{12}y^{13}}$. Показатель корня равен 3. По условию $x > 0$ и $y > 0$.

Разложим число 54 на множители, один из которых является кубом целого числа: $54 = 27 \cdot 2 = 3^3 \cdot 2$.

Представим степени переменных:

$x^{12} = (x^4)^3$

$y^{13} = y^{12+1} = y^{12} \cdot y = (y^4)^3 \cdot y$

Подставим разложения в исходное выражение:

$\sqrt[3]{54x^{12}y^{13}} = \sqrt[3]{3^3 \cdot 2 \cdot (x^4)^3 \cdot (y^4)^3 \cdot y}$

Сгруппируем множители, являющиеся полными кубами:

$\sqrt[3]{(3^3 \cdot (x^4)^3 \cdot (y^4)^3) \cdot 2y} = \sqrt[3]{(3x^4y^4)^3 \cdot 2y}$

Вынесем множитель из-под знака корня:

$\sqrt[3]{(3x^4y^4)^3} \cdot \sqrt[3]{2y} = 3x^4y^4\sqrt[3]{2y}$

Ответ: $3x^4y^4\sqrt[3]{2y}$.

4) Рассмотрим выражение $\sqrt[4]{16x^5y^7}$. Показатель корня равен 4. По условию $x > 0$ и $y > 0$.

Разложим число 16: $16 = 2^4$.

Представим степени переменных, выделив множители со степенями, кратными 4:

$x^5 = x^{4+1} = x^4 \cdot x$

$y^7 = y^{4+3} = y^4 \cdot y^3$

Подставим разложения в подкоренное выражение:

$\sqrt[4]{16x^5y^7} = \sqrt[4]{2^4 \cdot x^4 \cdot x \cdot y^4 \cdot y^3}$

Сгруппируем множители, являющиеся полными четвертыми степенями:

$\sqrt[4]{(2^4 \cdot x^4 \cdot y^4) \cdot (x y^3)} = \sqrt[4]{(2xy)^4 \cdot xy^3}$

Вынесем множитель из-под знака корня:

$\sqrt[4]{(2xy)^4} \cdot \sqrt[4]{xy^3} = 2xy\sqrt[4]{xy^3}$

Ответ: $2xy\sqrt[4]{xy^3}$.

5.13. Внесите множитель под знак корня ($x > 0, y > 0$):

1) $x^2y \sqrt[3]{4}$; 2) $xy^3 \sqrt[5]{\frac{3y^3}{x^4}}$; 3) $x^2y^3 \sqrt[3]{8}$; 4) $xy^2 \sqrt[3]{-5}$.

1) Чтобы внести множитель под знак корня n-ой степени, нужно возвести этот множитель в n-ую степень и записать его под знаком корня. В данном случае степень корня равна 4, а множитель $x^2y$. Так как по условию $x > 0$ и $y > 0$, множитель $x^2y$ положителен.

Возводим множитель $x^2y$ в 4-ю степень: $(x^2y)^4 = (x^2)^4 \cdot y^4 = x^{2 \cdot 4}y^4 = x^8y^4$.

Теперь умножаем полученное выражение на подкоренное выражение (4) и записываем результат под знаком корня четвертой степени:

$x^2y\sqrt[4]{4} = \sqrt[4]{(x^2y)^4 \cdot 4} = \sqrt[4]{x^8y^4 \cdot 4} = \sqrt[4]{4x^8y^4}$.

Ответ: $\sqrt[4]{4x^8y^4}$.

2) В этом примере степень корня равна 5, а множитель перед корнем равен $xy^2$. По условию $x > 0$ и $y > 0$, поэтому множитель $xy^2$ положителен.

Возводим множитель $xy^2$ в 5-ю степень: $(xy^2)^5 = x^5 \cdot (y^2)^5 = x^5y^{2 \cdot 5} = x^5y^{10}$.

Вносим полученное выражение под знак корня и умножаем на подкоренное выражение $\frac{3y^3}{x^4}$:

$xy^2\sqrt[5]{\frac{3y^3}{x^4}} = \sqrt[5]{(xy^2)^5 \cdot \frac{3y^3}{x^4}} = \sqrt[5]{x^5y^{10} \cdot \frac{3y^3}{x^4}}$.

Упрощаем выражение под корнем:

$\sqrt[5]{\frac{3x^5y^{10}y^3}{x^4}} = \sqrt[5]{3x^{5-4}y^{10+3}} = \sqrt[5]{3xy^{13}}$.

Ответ: $\sqrt[5]{3xy^{13}}$.

3) Степень корня равна 4. Множитель перед корнем — $x^2y^3$. Так как $x > 0$ и $y > 0$, множитель положителен.

Возводим множитель $x^2y^3$ в 4-ю степень: $(x^2y^3)^4 = (x^2)^4 \cdot (y^3)^4 = x^{2 \cdot 4}y^{3 \cdot 4} = x^8y^{12}$.

Вносим под знак корня и умножаем на подкоренное выражение (8):

$x^2y^3\sqrt[4]{8} = \sqrt[4]{(x^2y^3)^4 \cdot 8} = \sqrt[4]{x^8y^{12} \cdot 8} = \sqrt[4]{8x^8y^{12}}$.

Ответ: $\sqrt[4]{8x^8y^{12}}$.

4) Степень корня равна 3. Множитель перед корнем — $xy^2$. Поскольку корень нечетной степени, подкоренное выражение может быть отрицательным.

Возводим множитель $xy^2$ в 3-ю степень: $(xy^2)^3 = x^3 \cdot (y^2)^3 = x^3y^{2 \cdot 3} = x^3y^6$.

Вносим полученное выражение под знак корня и умножаем на подкоренное выражение (-5):

$xy^2\sqrt[3]{-5} = \sqrt[3]{(xy^2)^3 \cdot (-5)} = \sqrt[3]{x^3y^6 \cdot (-5)} = \sqrt[3]{-5x^3y^6}$.

Ответ: $\sqrt[3]{-5x^3y^6}$.

Упростите выражения (5.14–5.15):

5.14. 1) $\sqrt[7]{x^7}$ рассмотрите два случая $x > 0, x < 0$;

2) $\sqrt[8]{x^8}$, $x > 0$;

3) $\sqrt[5]{x^5}$;

4) $\sqrt{x^2}$, $x > 0$.

1) Для упрощения выражения $\sqrt[7]{x^7}$ воспользуемся свойством корня нечетной степени: для любого действительного числа $a$ и любого нечетного натурального числа $n$, справедливо равенство $\sqrt[n]{a^n} = a$. В данном случае показатель корня $n=7$ является нечетным числом.

Рассмотрим два заданных случая:

1. Если $x > 0$, то $\sqrt[7]{x^7} = x$.

2. Если $x < 0$, то $\sqrt[7]{x^7} = x$.

Результат не зависит от знака $x$.

Ответ: $x$.

2) Для упрощения выражения $\sqrt[8]{x^8}$ при $x > 0$ воспользуемся свойством корня четной степени: для любого действительного числа $a$ и любого четного натурального числа $n$, справедливо равенство $\sqrt[n]{a^n} = |a|$. В данном случае показатель корня $n=8$ является четным числом.

Следовательно, $\sqrt[8]{x^8} = |x|$.

По условию задачи $x > 0$, а по определению модуля, если число положительное, то его модуль равен самому числу: $|x| = x$.

Таким образом, $\sqrt[8]{x^8} = x$.

Ответ: $x$.

3) Для упрощения выражения $\sqrt[5]{x^{-5}}$ можно использовать свойства степеней и корней. Область определения выражения: $x \neq 0$.

Способ 1: Использование определения степени с отрицательным показателем.

$x^{-5} = \frac{1}{x^5}$.

$\sqrt[5]{x^{-5}} = \sqrt[5]{\frac{1}{x^5}} = \frac{\sqrt[5]{1}}{\sqrt[5]{x^5}} = \frac{1}{x}$, так как корень нечетной степени ($n=5$) из $x^5$ равен $x$.

Способ 2: Использование степеней с дробными показателями.

$\sqrt[5]{x^{-5}} = (x^{-5})^{\frac{1}{5}} = x^{-5 \cdot \frac{1}{5}} = x^{-1} = \frac{1}{x}$.

Ответ: $\frac{1}{x}$.

4) Для упрощения выражения $\sqrt{x^2}$ при $x > 0$. Квадратный корень — это корень второй степени, где $n=2$ является четным числом.

Используем свойство корня четной степени: $\sqrt{a^2} = |a|$.

Применяя это свойство, получаем: $\sqrt{x^2} = |x|$.

По условию задачи $x > 0$, поэтому по определению модуля $|x| = x$.

Следовательно, $\sqrt{x^2} = x$.

Ответ: $x$.

5.15. 1) $ \sqrt[3]{a^3} - \sqrt{a^2} $, где $a < 0$;

2) $ \sqrt[5]{x^5} - \sqrt[6]{x^6} $, где $x > 0$;

3) $ \sqrt[4]{b^4} + 2\sqrt[3]{b^7} $, где $b > 0$;

4) $ \sqrt[3]{x^3} + \sqrt[8]{x^8} $, где $x < 0$.

1) Для упрощения выражения $\sqrt[3]{a^3} - \sqrt{a^2}$ при $a < 0$, воспользуемся свойствами корней. Корень нечетной степени из нечетной степени числа равен самому числу, то есть $\sqrt[3]{a^3} = a$. Корень четной степени из четной степени числа равен модулю этого числа, то есть $\sqrt{a^2} = |a|$. Таким образом, выражение принимает вид: $a - |a|$. Поскольку по условию $a < 0$, то $|a| = -a$. Подставив это в выражение, получаем: $a - (-a) = a + a = 2a$.

Ответ: $2a$

2) Для упрощения выражения $\sqrt[5]{x^5} - \sqrt[6]{x^6}$ при $x > 0$, рассмотрим каждый член. Корень нечетной степени (5) из числа в той же степени равен самому числу: $\sqrt[5]{x^5} = x$. Корень четной степени (6) из числа в той же степени равен модулю этого числа: $\sqrt[6]{x^6} = |x|$. Выражение преобразуется в $x - |x|$. Так как по условию $x > 0$, то $|x| = x$. Подставляем это в выражение: $x - x = 0$.

Ответ: $0$

3) Для упрощения выражения $\sqrt[4]{b^4} + 2\sqrt[7]{b^7}$ при $b > 0$, упростим каждое слагаемое. Корень четной степени (4) из числа в той же степени равен модулю этого числа: $\sqrt[4]{b^4} = |b|$. Корень нечетной степени (7) из числа в той же степени равен самому числу: $\sqrt[7]{b^7} = b$. Таким образом, выражение становится $|b| + 2b$. По условию $b > 0$, следовательно, $|b| = b$. Подставляем и получаем: $b + 2b = 3b$.

Ответ: $3b$

4) Для упрощения выражения $\sqrt[3]{x^3} + \sqrt[8]{x^8}$ при $x < 0$, рассмотрим каждое слагаемое. Корень нечетной степени (3) из числа в той же степени равен самому числу: $\sqrt[3]{x^3} = x$. Корень четной степени (8) из числа в той же степени равен модулю этого числа: $\sqrt[8]{x^8} = |x|$. Выражение принимает вид $x + |x|$. По условию $x < 0$, поэтому $|x| = -x$. Подставляем в выражение: $x + (-x) = x - x = 0$.

Ответ: $0$

Вычислите (5.16–5.18):

5.16. 1) $\sqrt{3} \cdot \sqrt[3]{3} \cdot \sqrt{27} \cdot \sqrt[3]{-9}$; 2) $\sqrt[3]{500} \cdot \sqrt[3]{\frac{4}{25}} \cdot \sqrt[3]{100}$;

3) $\frac{\sqrt[3]{28} \cdot \sqrt[3]{45}}{\sqrt[3]{35}} \cdot \sqrt[3]{6}$; 4) $\frac{\sqrt[3]{81} \cdot \sqrt[3]{256}}{\sqrt[3]{12}}$.

1) Чтобы вычислить значение выражения $√3 ⋅ ³√3 ⋅ √27 ⋅ ³√-9$, сгруппируем множители с одинаковыми показателями корня: квадратные с квадратными, кубические с кубическими.

Выражение можно переписать так: $(√3 ⋅ √27) ⋅ (³√3 ⋅ ³√-9)$.

Используем свойство корней $√a ⋅ √b = √(a ⋅ b)$ и $³√a ⋅ ³√b = ³√(a ⋅ b)$.

Вычислим произведение квадратных корней:

$√3 ⋅ √27 = √(3 ⋅ 27) = √81 = 9$.

Вычислим произведение кубических корней:

$³√3 ⋅ ³√-9 = ³√(3 ⋅ (-9)) = ³√(-27) = -3$.

Теперь перемножим полученные результаты:

$9 ⋅ (-3) = -27$.

Ответ: -27

2) Чтобы вычислить значение выражения $³√500 ⋅ ³√(4/25) ⋅ ³√100$, воспользуемся свойством произведения корней одинаковой степени $³√a ⋅ ³√b = ³√(a ⋅ b)$ и внесем все множители под один знак кубического корня.

$³√500 ⋅ ³√(4/25) ⋅ ³√100 = ³√(500 ⋅ 4/25 ⋅ 100)$.

Выполним умножение под корнем, сократив дробь:

$500 ⋅ 4/25 ⋅ 100 = (500/25) ⋅ 4 ⋅ 100 = 20 ⋅ 4 ⋅ 100 = 80 ⋅ 100 = 8000$.

Теперь извлечем кубический корень из полученного числа:

$³√8000 = ³√(20 ⋅ 20 ⋅ 20) = ³√(20³) = 20$.

Ответ: 20

3) Чтобы вычислить значение выражения $(³√28 ⋅ ³√45) / ³√35 ⋅ ³√6$, объединим все члены под одним знаком кубического корня, используя свойства $³√a ⋅ ³√b = ³√(ab)$ и $³√a / ³√b = ³√(a/b)$.

$(³√28 ⋅ ³√45) / ³√35 ⋅ ³√6 = ³√((28 ⋅ 45 ⋅ 6) / 35)$.

Для упрощения выражения под корнем разложим числа на простые множители:

$28 = 4 ⋅ 7 = 2² ⋅ 7$

$45 = 9 ⋅ 5 = 3² ⋅ 5$

$6 = 2 ⋅ 3$

$35 = 5 ⋅ 7$

Подставим разложения в выражение под корнем:

$³√(((2² ⋅ 7) ⋅ (3² ⋅ 5) ⋅ (2 ⋅ 3)) / (5 ⋅ 7))$

Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе (5 и 7):

$³√(2² ⋅ 3² ⋅ 2 ⋅ 3) = ³√(2^(2+1) ⋅ 3^(2+1)) = ³√(2³ ⋅ 3³) = ³√((2⋅3)³) = ³√(6³)$.

Извлечем корень:

$³√(6³) = 6$.

Ответ: 6

4) Чтобы вычислить значение выражения $(³√81 ⋅ ³√256) / ³√12$, объединим все члены под одним знаком кубического корня.

$(³√81 ⋅ ³√256) / ³√12 = ³√((81 ⋅ 256) / 12)$.

Упростим выражение под корнем. Разложим числа на простые множители:

$81 = 3⁴$

$256 = 2⁸$

$12 = 4 ⋅ 3 = 2² ⋅ 3$

Подставим разложения в выражение под корнем:

$³√((3⁴ ⋅ 2⁸) / (2² ⋅ 3¹))$

Применим свойства степеней при делении ($a^m / a^n = a^(m-n)$):

$³√(3^(4-1) ⋅ 2^(8-2)) = ³√(3³ ⋅ 2⁶)$.

Теперь извлечем корень, используя свойство $³√(a^m) = a^(m/3)$:

$³√(3³) ⋅ ³√(2⁶) = 3^(3/3) ⋅ 2^(6/3) = 3¹ ⋅ 2² = 3 ⋅ 4 = 12$.

Ответ: 12