Номер 5.10, страница 42 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

5.10. 1) $\sqrt[4]{4} \cdot \sqrt[8]{8}$;

2) $\sqrt[3]{16} \cdot \sqrt[4]{-8}$;

3) $\sqrt[5]{27} \cdot \sqrt[5]{9}$;

4) $\sqrt[3]{-25} \cdot \sqrt[6]{25}$.

1) Для того чтобы перемножить корни с разными показателями, представим их в виде степеней с рациональными показателями, используя формулу $\sqrt[n]{a^m} = a^{m/n}$. Сначала представим подкоренные выражения в виде степеней числа 2, так как $4 = 2^2$ и $8 = 2^3$.

$\sqrt[4]{4} = \sqrt[4]{2^2} = 2^{2/4} = 2^{1/2}$

$\sqrt[8]{8} = \sqrt[8]{2^3} = 2^{3/8}$

Теперь перемножим полученные степени. При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$):

$2^{1/2} \cdot 2^{3/8} = 2^{1/2 + 3/8}$

Приведем дроби в показателе к общему знаменателю:

$2^{4/8 + 3/8} = 2^{7/8}$

Запишем результат обратно в виде корня:

$2^{7/8} = \sqrt[8]{2^7} = \sqrt[8]{128}$

Ответ: $\sqrt[8]{128}$.

2) Упростим каждый множитель по отдельности. Для этого найдем кубические корни из чисел.

Корень кубический из -8:

$\sqrt[3]{-8} = \sqrt[3]{(-2)^3} = -2$

Теперь упростим корень кубический из 16, вынеся множитель из-под знака корня:

$\sqrt[3]{16} = \sqrt[3]{8 \cdot 2} = \sqrt[3]{2^3 \cdot 2} = 2\sqrt[3]{2}$

Перемножим полученные выражения:

$2\sqrt[3]{2} \cdot (-2) = -4\sqrt[3]{2}$

Ответ: $-4\sqrt[3]{2}$.

3) Поскольку показатели корней одинаковы (равны 5), мы можем использовать свойство произведения корней: $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$.

$\sqrt[5]{27} \cdot \sqrt[5]{9} = \sqrt[5]{27 \cdot 9}$

Чтобы упростить вычисление, представим подкоренные выражения в виде степеней числа 3: $27 = 3^3$ и $9 = 3^2$.

$\sqrt[5]{3^3 \cdot 3^2} = \sqrt[5]{3^{3+2}} = \sqrt[5]{3^5}$

Так как показатель корня и показатель степени подкоренного выражения равны, результат равен основанию степени:

$\sqrt[5]{3^5} = 3$

Ответ: $3$.

4) Показатели корней одинаковы (равны 3), поэтому воспользуемся свойством произведения корней: $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$.

$\sqrt[3]{-25} \cdot \sqrt[3]{25} = \sqrt[3]{-25 \cdot 25} = \sqrt[3]{-625}$

Теперь упростим полученное выражение, вынеся множитель из-под знака корня. Для этого разложим 625 на множители так, чтобы один из них был кубом числа:

$625 = 125 \cdot 5 = 5^3 \cdot 5$

Подставим это в наше выражение:

$\sqrt[3]{-625} = \sqrt[3]{-125 \cdot 5} = \sqrt[3]{(-5)^3 \cdot 5}$

Выносим куб из-под знака корня:

$\sqrt[3]{(-5)^3} \cdot \sqrt[3]{5} = -5\sqrt[3]{5}$

Ответ: $-5\sqrt[3]{5}$.