Номер 5.15, страница 42 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

5.15. 1) $ \sqrt[3]{a^3} - \sqrt{a^2} $, где $a < 0$;

2) $ \sqrt[5]{x^5} - \sqrt[6]{x^6} $, где $x > 0$;

3) $ \sqrt[4]{b^4} + 2\sqrt[3]{b^7} $, где $b > 0$;

4) $ \sqrt[3]{x^3} + \sqrt[8]{x^8} $, где $x < 0$.

1) Для упрощения выражения $\sqrt[3]{a^3} - \sqrt{a^2}$ при $a < 0$, воспользуемся свойствами корней. Корень нечетной степени из нечетной степени числа равен самому числу, то есть $\sqrt[3]{a^3} = a$. Корень четной степени из четной степени числа равен модулю этого числа, то есть $\sqrt{a^2} = |a|$. Таким образом, выражение принимает вид: $a - |a|$. Поскольку по условию $a < 0$, то $|a| = -a$. Подставив это в выражение, получаем: $a - (-a) = a + a = 2a$.

Ответ: $2a$

2) Для упрощения выражения $\sqrt[5]{x^5} - \sqrt[6]{x^6}$ при $x > 0$, рассмотрим каждый член. Корень нечетной степени (5) из числа в той же степени равен самому числу: $\sqrt[5]{x^5} = x$. Корень четной степени (6) из числа в той же степени равен модулю этого числа: $\sqrt[6]{x^6} = |x|$. Выражение преобразуется в $x - |x|$. Так как по условию $x > 0$, то $|x| = x$. Подставляем это в выражение: $x - x = 0$.

Ответ: $0$

3) Для упрощения выражения $\sqrt[4]{b^4} + 2\sqrt[7]{b^7}$ при $b > 0$, упростим каждое слагаемое. Корень четной степени (4) из числа в той же степени равен модулю этого числа: $\sqrt[4]{b^4} = |b|$. Корень нечетной степени (7) из числа в той же степени равен самому числу: $\sqrt[7]{b^7} = b$. Таким образом, выражение становится $|b| + 2b$. По условию $b > 0$, следовательно, $|b| = b$. Подставляем и получаем: $b + 2b = 3b$.

Ответ: $3b$

4) Для упрощения выражения $\sqrt[3]{x^3} + \sqrt[8]{x^8}$ при $x < 0$, рассмотрим каждое слагаемое. Корень нечетной степени (3) из числа в той же степени равен самому числу: $\sqrt[3]{x^3} = x$. Корень четной степени (8) из числа в той же степени равен модулю этого числа: $\sqrt[8]{x^8} = |x|$. Выражение принимает вид $x + |x|$. По условию $x < 0$, поэтому $|x| = -x$. Подставляем в выражение: $x + (-x) = x - x = 0$.

Ответ: $0$