Номер 5.14, страница 42 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Упростите выражения (5.14–5.15):

5.14. 1) $\sqrt[7]{x^7}$ рассмотрите два случая $x > 0, x < 0$;

2) $\sqrt[8]{x^8}$, $x > 0$;

3) $\sqrt[5]{x^5}$;

4) $\sqrt{x^2}$, $x > 0$.

1) Для упрощения выражения $\sqrt[7]{x^7}$ воспользуемся свойством корня нечетной степени: для любого действительного числа $a$ и любого нечетного натурального числа $n$, справедливо равенство $\sqrt[n]{a^n} = a$. В данном случае показатель корня $n=7$ является нечетным числом.

Рассмотрим два заданных случая:

1. Если $x > 0$, то $\sqrt[7]{x^7} = x$.

2. Если $x < 0$, то $\sqrt[7]{x^7} = x$.

Результат не зависит от знака $x$.

Ответ: $x$.

2) Для упрощения выражения $\sqrt[8]{x^8}$ при $x > 0$ воспользуемся свойством корня четной степени: для любого действительного числа $a$ и любого четного натурального числа $n$, справедливо равенство $\sqrt[n]{a^n} = |a|$. В данном случае показатель корня $n=8$ является четным числом.

Следовательно, $\sqrt[8]{x^8} = |x|$.

По условию задачи $x > 0$, а по определению модуля, если число положительное, то его модуль равен самому числу: $|x| = x$.

Таким образом, $\sqrt[8]{x^8} = x$.

Ответ: $x$.

3) Для упрощения выражения $\sqrt[5]{x^{-5}}$ можно использовать свойства степеней и корней. Область определения выражения: $x \neq 0$.

Способ 1: Использование определения степени с отрицательным показателем.

$x^{-5} = \frac{1}{x^5}$.

$\sqrt[5]{x^{-5}} = \sqrt[5]{\frac{1}{x^5}} = \frac{\sqrt[5]{1}}{\sqrt[5]{x^5}} = \frac{1}{x}$, так как корень нечетной степени ($n=5$) из $x^5$ равен $x$.

Способ 2: Использование степеней с дробными показателями.

$\sqrt[5]{x^{-5}} = (x^{-5})^{\frac{1}{5}} = x^{-5 \cdot \frac{1}{5}} = x^{-1} = \frac{1}{x}$.

Ответ: $\frac{1}{x}$.

4) Для упрощения выражения $\sqrt{x^2}$ при $x > 0$. Квадратный корень — это корень второй степени, где $n=2$ является четным числом.

Используем свойство корня четной степени: $\sqrt{a^2} = |a|$.

Применяя это свойство, получаем: $\sqrt{x^2} = |x|$.

По условию задачи $x > 0$, поэтому по определению модуля $|x| = x$.

Следовательно, $\sqrt{x^2} = x$.

Ответ: $x$.