Номер 5.9, страница 42 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

5.9. 1) $\sqrt[3]{625 \cdot 160}$;

2) $\sqrt[3]{24 \cdot 9}$;

3) $\sqrt[3]{27 \cdot 48}$;

4) $\sqrt[3]{45 \cdot 75}$.

1) Чтобы вычислить значение выражения $\sqrt[3]{625 \cdot 160}$, воспользуемся свойством корня из произведения: $\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$. Для этого разложим числа под корнем на простые множители и сгруппируем их так, чтобы получить полные кубы.

Разложим на множители числа 625 и 160:

$625 = 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 5^4$

$160 = 16 \cdot 10 = (2 \cdot 8) \cdot (2 \cdot 5) = 2^4 \cdot 2 \cdot 5 = 2^5 \cdot 5$

Теперь перемножим эти разложения под корнем:

$\sqrt[3]{625 \cdot 160} = \sqrt[3]{5^4 \cdot (2^5 \cdot 5)} = \sqrt[3]{5^5 \cdot 2^5} = \sqrt[3]{(5 \cdot 2)^5} = \sqrt[3]{10^5}$

Представим $10^5$ как $10^3 \cdot 10^2$, чтобы извлечь кубический корень из $10^3$:

$\sqrt[3]{10^3 \cdot 10^2} = \sqrt[3]{10^3} \cdot \sqrt[3]{10^2} = 10\sqrt[3]{100}$.

Ответ: $10\sqrt[3]{100}$.

2) Для вычисления выражения $\sqrt[3]{24 \cdot 9}$ разложим подкоренные числа на простые множители.

$24 = 8 \cdot 3 = 2^3 \cdot 3$

$9 = 3^2$

Перемножим разложения под знаком корня:

$\sqrt[3]{24 \cdot 9} = \sqrt[3]{(2^3 \cdot 3) \cdot 3^2} = \sqrt[3]{2^3 \cdot 3^3}$

Используя свойство $\sqrt[n]{a^n \cdot b^n} = ab$, получаем:

$\sqrt[3]{2^3 \cdot 3^3} = \sqrt[3]{(2 \cdot 3)^3} = \sqrt[3]{6^3} = 6$.

Ответ: 6.

3) Для вычисления выражения $\sqrt[4]{27 \cdot 48}$ разложим подкоренные числа на простые множители.

$27 = 3^3$

$48 = 16 \cdot 3 = 2^4 \cdot 3$

Перемножим разложения под знаком корня:

$\sqrt[4]{27 \cdot 48} = \sqrt[4]{3^3 \cdot (2^4 \cdot 3)} = \sqrt[4]{2^4 \cdot 3^4}$

Используя свойство $\sqrt[n]{a^n \cdot b^n} = ab$, получаем:

$\sqrt[4]{2^4 \cdot 3^4} = \sqrt[4]{(2 \cdot 3)^4} = \sqrt[4]{6^4} = 6$.

Ответ: 6.

4) Для вычисления выражения $\sqrt[3]{45 \cdot 75}$ разложим подкоренные числа на простые множители.

$45 = 9 \cdot 5 = 3^2 \cdot 5$

$75 = 25 \cdot 3 = 5^2 \cdot 3$

Перемножим разложения под знаком корня:

$\sqrt[3]{45 \cdot 75} = \sqrt[3]{(3^2 \cdot 5) \cdot (5^2 \cdot 3)} = \sqrt[3]{3^3 \cdot 5^3}$

Используя свойство $\sqrt[n]{a^n \cdot b^n} = ab$, получаем:

$\sqrt[3]{3^3 \cdot 5^3} = \sqrt[3]{(3 \cdot 5)^3} = \sqrt[3]{15^3} = 15$.

Ответ: 15.