Номер 5.12, страница 42 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

5.12. Вынесите множитель из-под корня ($x > 0$, $y > 0$):

1) $\sqrt[6]{64x^{11}y^{13}}$;

2) $\sqrt[4]{256x^8y^9}$;

3) $\sqrt[3]{54x^{12}y^{13}}$;

4) $\sqrt{16x^5y^7}$.

1) Чтобы вынести множитель из-под корня $\sqrt[6]{64x^{11}y^{13}}$, представим подкоренное выражение в виде произведения множителей, степени которых кратны показателю корня, то есть 6. По условию $x > 0$ и $y > 0$.

Разложим число 64 на множители: $64 = 2^6$.

Представим степени переменных в виде произведения, где один из множителей имеет степень, кратную 6:

$x^{11} = x^{6+5} = x^6 \cdot x^5$

$y^{13} = y^{12+1} = y^{12} \cdot y^1 = (y^2)^6 \cdot y$

Подставим полученные выражения под знак корня:

$\sqrt[6]{64x^{11}y^{13}} = \sqrt[6]{2^6 \cdot x^6 \cdot x^5 \cdot (y^2)^6 \cdot y}$

Сгруппируем множители, являющиеся полными шестыми степенями:

$\sqrt[6]{(2^6 \cdot x^6 \cdot (y^2)^6) \cdot (x^5y)} = \sqrt[6]{(2xy^2)^6 \cdot x^5y}$

Используя свойство корня $\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}$ и то, что $\sqrt[n]{a^n} = a$ при $a > 0$, вынесем множитель:

$\sqrt[6]{(2xy^2)^6} \cdot \sqrt[6]{x^5y} = 2xy^2\sqrt[6]{x^5y}$

Ответ: $2xy^2\sqrt[6]{x^5y}$.

2) Рассмотрим выражение $\sqrt[4]{256x^{-8}y^9}$. Показатель корня равен 4. По условию $x > 0$ и $y > 0$.

Разложим число 256: $256 = 4^4$.

Представим степени переменных:

$x^{-8} = (x^{-2})^4$

$y^9 = y^{8+1} = y^8 \cdot y = (y^2)^4 \cdot y$

Подставим разложения в подкоренное выражение:

$\sqrt[4]{256x^{-8}y^9} = \sqrt[4]{4^4 \cdot (x^{-2})^4 \cdot (y^2)^4 \cdot y}$

Сгруппируем множители, являющиеся полными четвертыми степенями:

$\sqrt[4]{(4^4 \cdot (x^{-2})^4 \cdot (y^2)^4) \cdot y} = \sqrt[4]{(4x^{-2}y^2)^4 \cdot y}$

Вынесем множитель из-под знака корня:

$\sqrt[4]{(4x^{-2}y^2)^4} \cdot \sqrt[4]{y} = 4x^{-2}y^2\sqrt[4]{y}$

Запишем множитель с отрицательной степенью в виде дроби:

$4x^{-2}y^2\sqrt[4]{y} = \frac{4y^2}{x^2}\sqrt[4]{y}$

Ответ: $\frac{4y^2}{x^2}\sqrt[4]{y}$.

3) Рассмотрим выражение $\sqrt[3]{54x^{12}y^{13}}$. Показатель корня равен 3. По условию $x > 0$ и $y > 0$.

Разложим число 54 на множители, один из которых является кубом целого числа: $54 = 27 \cdot 2 = 3^3 \cdot 2$.

Представим степени переменных:

$x^{12} = (x^4)^3$

$y^{13} = y^{12+1} = y^{12} \cdot y = (y^4)^3 \cdot y$

Подставим разложения в исходное выражение:

$\sqrt[3]{54x^{12}y^{13}} = \sqrt[3]{3^3 \cdot 2 \cdot (x^4)^3 \cdot (y^4)^3 \cdot y}$

Сгруппируем множители, являющиеся полными кубами:

$\sqrt[3]{(3^3 \cdot (x^4)^3 \cdot (y^4)^3) \cdot 2y} = \sqrt[3]{(3x^4y^4)^3 \cdot 2y}$

Вынесем множитель из-под знака корня:

$\sqrt[3]{(3x^4y^4)^3} \cdot \sqrt[3]{2y} = 3x^4y^4\sqrt[3]{2y}$

Ответ: $3x^4y^4\sqrt[3]{2y}$.

4) Рассмотрим выражение $\sqrt[4]{16x^5y^7}$. Показатель корня равен 4. По условию $x > 0$ и $y > 0$.

Разложим число 16: $16 = 2^4$.

Представим степени переменных, выделив множители со степенями, кратными 4:

$x^5 = x^{4+1} = x^4 \cdot x$

$y^7 = y^{4+3} = y^4 \cdot y^3$

Подставим разложения в подкоренное выражение:

$\sqrt[4]{16x^5y^7} = \sqrt[4]{2^4 \cdot x^4 \cdot x \cdot y^4 \cdot y^3}$

Сгруппируем множители, являющиеся полными четвертыми степенями:

$\sqrt[4]{(2^4 \cdot x^4 \cdot y^4) \cdot (x y^3)} = \sqrt[4]{(2xy)^4 \cdot xy^3}$

Вынесем множитель из-под знака корня:

$\sqrt[4]{(2xy)^4} \cdot \sqrt[4]{xy^3} = 2xy\sqrt[4]{xy^3}$

Ответ: $2xy\sqrt[4]{xy^3}$.