Номер 5.13, страница 42 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

5.13. Внесите множитель под знак корня ($x > 0, y > 0$):

1) $x^2y \sqrt[3]{4}$; 2) $xy^3 \sqrt[5]{\frac{3y^3}{x^4}}$; 3) $x^2y^3 \sqrt[3]{8}$; 4) $xy^2 \sqrt[3]{-5}$.

1) Чтобы внести множитель под знак корня n-ой степени, нужно возвести этот множитель в n-ую степень и записать его под знаком корня. В данном случае степень корня равна 4, а множитель $x^2y$. Так как по условию $x > 0$ и $y > 0$, множитель $x^2y$ положителен.

Возводим множитель $x^2y$ в 4-ю степень: $(x^2y)^4 = (x^2)^4 \cdot y^4 = x^{2 \cdot 4}y^4 = x^8y^4$.

Теперь умножаем полученное выражение на подкоренное выражение (4) и записываем результат под знаком корня четвертой степени:

$x^2y\sqrt[4]{4} = \sqrt[4]{(x^2y)^4 \cdot 4} = \sqrt[4]{x^8y^4 \cdot 4} = \sqrt[4]{4x^8y^4}$.

Ответ: $\sqrt[4]{4x^8y^4}$.

2) В этом примере степень корня равна 5, а множитель перед корнем равен $xy^2$. По условию $x > 0$ и $y > 0$, поэтому множитель $xy^2$ положителен.

Возводим множитель $xy^2$ в 5-ю степень: $(xy^2)^5 = x^5 \cdot (y^2)^5 = x^5y^{2 \cdot 5} = x^5y^{10}$.

Вносим полученное выражение под знак корня и умножаем на подкоренное выражение $\frac{3y^3}{x^4}$:

$xy^2\sqrt[5]{\frac{3y^3}{x^4}} = \sqrt[5]{(xy^2)^5 \cdot \frac{3y^3}{x^4}} = \sqrt[5]{x^5y^{10} \cdot \frac{3y^3}{x^4}}$.

Упрощаем выражение под корнем:

$\sqrt[5]{\frac{3x^5y^{10}y^3}{x^4}} = \sqrt[5]{3x^{5-4}y^{10+3}} = \sqrt[5]{3xy^{13}}$.

Ответ: $\sqrt[5]{3xy^{13}}$.

3) Степень корня равна 4. Множитель перед корнем — $x^2y^3$. Так как $x > 0$ и $y > 0$, множитель положителен.

Возводим множитель $x^2y^3$ в 4-ю степень: $(x^2y^3)^4 = (x^2)^4 \cdot (y^3)^4 = x^{2 \cdot 4}y^{3 \cdot 4} = x^8y^{12}$.

Вносим под знак корня и умножаем на подкоренное выражение (8):

$x^2y^3\sqrt[4]{8} = \sqrt[4]{(x^2y^3)^4 \cdot 8} = \sqrt[4]{x^8y^{12} \cdot 8} = \sqrt[4]{8x^8y^{12}}$.

Ответ: $\sqrt[4]{8x^8y^{12}}$.

4) Степень корня равна 3. Множитель перед корнем — $xy^2$. Поскольку корень нечетной степени, подкоренное выражение может быть отрицательным.

Возводим множитель $xy^2$ в 3-ю степень: $(xy^2)^3 = x^3 \cdot (y^2)^3 = x^3y^{2 \cdot 3} = x^3y^6$.

Вносим полученное выражение под знак корня и умножаем на подкоренное выражение (-5):

$xy^2\sqrt[3]{-5} = \sqrt[3]{(xy^2)^3 \cdot (-5)} = \sqrt[3]{x^3y^6 \cdot (-5)} = \sqrt[3]{-5x^3y^6}$.

Ответ: $\sqrt[3]{-5x^3y^6}$.