Номер 5.16, страница 42 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Вычислите (5.16–5.18):

5.16. 1) $\sqrt{3} \cdot \sqrt[3]{3} \cdot \sqrt{27} \cdot \sqrt[3]{-9}$; 2) $\sqrt[3]{500} \cdot \sqrt[3]{\frac{4}{25}} \cdot \sqrt[3]{100}$;

3) $\frac{\sqrt[3]{28} \cdot \sqrt[3]{45}}{\sqrt[3]{35}} \cdot \sqrt[3]{6}$; 4) $\frac{\sqrt[3]{81} \cdot \sqrt[3]{256}}{\sqrt[3]{12}}$.

1) Чтобы вычислить значение выражения $√3 ⋅ ³√3 ⋅ √27 ⋅ ³√-9$, сгруппируем множители с одинаковыми показателями корня: квадратные с квадратными, кубические с кубическими.

Выражение можно переписать так: $(√3 ⋅ √27) ⋅ (³√3 ⋅ ³√-9)$.

Используем свойство корней $√a ⋅ √b = √(a ⋅ b)$ и $³√a ⋅ ³√b = ³√(a ⋅ b)$.

Вычислим произведение квадратных корней:

$√3 ⋅ √27 = √(3 ⋅ 27) = √81 = 9$.

Вычислим произведение кубических корней:

$³√3 ⋅ ³√-9 = ³√(3 ⋅ (-9)) = ³√(-27) = -3$.

Теперь перемножим полученные результаты:

$9 ⋅ (-3) = -27$.

Ответ: -27

2) Чтобы вычислить значение выражения $³√500 ⋅ ³√(4/25) ⋅ ³√100$, воспользуемся свойством произведения корней одинаковой степени $³√a ⋅ ³√b = ³√(a ⋅ b)$ и внесем все множители под один знак кубического корня.

$³√500 ⋅ ³√(4/25) ⋅ ³√100 = ³√(500 ⋅ 4/25 ⋅ 100)$.

Выполним умножение под корнем, сократив дробь:

$500 ⋅ 4/25 ⋅ 100 = (500/25) ⋅ 4 ⋅ 100 = 20 ⋅ 4 ⋅ 100 = 80 ⋅ 100 = 8000$.

Теперь извлечем кубический корень из полученного числа:

$³√8000 = ³√(20 ⋅ 20 ⋅ 20) = ³√(20³) = 20$.

Ответ: 20

3) Чтобы вычислить значение выражения $(³√28 ⋅ ³√45) / ³√35 ⋅ ³√6$, объединим все члены под одним знаком кубического корня, используя свойства $³√a ⋅ ³√b = ³√(ab)$ и $³√a / ³√b = ³√(a/b)$.

$(³√28 ⋅ ³√45) / ³√35 ⋅ ³√6 = ³√((28 ⋅ 45 ⋅ 6) / 35)$.

Для упрощения выражения под корнем разложим числа на простые множители:

$28 = 4 ⋅ 7 = 2² ⋅ 7$

$45 = 9 ⋅ 5 = 3² ⋅ 5$

$6 = 2 ⋅ 3$

$35 = 5 ⋅ 7$

Подставим разложения в выражение под корнем:

$³√(((2² ⋅ 7) ⋅ (3² ⋅ 5) ⋅ (2 ⋅ 3)) / (5 ⋅ 7))$

Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе (5 и 7):

$³√(2² ⋅ 3² ⋅ 2 ⋅ 3) = ³√(2^(2+1) ⋅ 3^(2+1)) = ³√(2³ ⋅ 3³) = ³√((2⋅3)³) = ³√(6³)$.

Извлечем корень:

$³√(6³) = 6$.

Ответ: 6

4) Чтобы вычислить значение выражения $(³√81 ⋅ ³√256) / ³√12$, объединим все члены под одним знаком кубического корня.

$(³√81 ⋅ ³√256) / ³√12 = ³√((81 ⋅ 256) / 12)$.

Упростим выражение под корнем. Разложим числа на простые множители:

$81 = 3⁴$

$256 = 2⁸$

$12 = 4 ⋅ 3 = 2² ⋅ 3$

Подставим разложения в выражение под корнем:

$³√((3⁴ ⋅ 2⁸) / (2² ⋅ 3¹))$

Применим свойства степеней при делении ($a^m / a^n = a^(m-n)$):

$³√(3^(4-1) ⋅ 2^(8-2)) = ³√(3³ ⋅ 2⁶)$.

Теперь извлечем корень, используя свойство $³√(a^m) = a^(m/3)$:

$³√(3³) ⋅ ³√(2⁶) = 3^(3/3) ⋅ 2^(6/3) = 3¹ ⋅ 2² = 3 ⋅ 4 = 12$.

Ответ: 12