Вопросы, страница 47 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1. Укажите область определения степени с рациональным показателем. Ответ обоснуйте.

2. Верно ли утверждение: если основанием степени с рациональным показателем является целое число, то значение данной степени образует множество целых чисел? Ответ обоснуйте.

3. При каких значениях $a$ верно равенство $a^{\frac{3}{5}} = \sqrt[5]{a^3}$ ?

1. Укажите область определения степени с рациональным показателем. Ответ обоснуйте.

Степень с рациональным показателем $r = \frac{m}{n}$, где $m$ — целое число ($m \in \mathbb{Z}$), а $n$ — натуральное число ($n \in \mathbb{N}, n \ge 2$), определяется по формуле $a^r = a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$.

Область определения этой степени, то есть множество допустимых значений основания $a$, устанавливается таким образом, чтобы результат был однозначно определен для любого рационального показателя $r$. Если допустить отрицательные значения для основания $a$, могут возникнуть противоречия. Например, рациональное число можно представить в виде разных дробей, например, $\frac{1}{3} = \frac{2}{6}$. Если взять $a = -8$, то получим:

$(-8)^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{-8} = -2$

С другой стороны:

$(-8)^{\frac{2}{6}} = \sqrt[6]{(-8)^2} = \sqrt[6]{64} = 2$

Мы получаем противоречие $-2 = 2$. Чтобы избежать подобных ситуаций и обеспечить однозначность значения степени с рациональным показателем, ее область определения ограничивают неотрицательными числами. Более того, если показатель степени $r$ отрицательный, например $r = -2$, то $a^r = a^{-2} = \frac{1}{a^2}$, и основание не может быть равным нулю. Поэтому в общем случае, для любого рационального показателя $r$, область определения степени $a^r$ — это множество всех положительных чисел.

В некоторых случаях определение расширяют: если $r > 0$, то допускается $a=0$. Однако стандартным и общепринятым является ограничение $a > 0$.

Ответ: Областью определения степени с рациональным показателем является множество всех положительных чисел, то есть $a > 0$.

2. Верно ли утверждение: если основанием степени с рациональным показателем является целое число, то значение данной степени образует множество целых чисел? Ответ обоснуйте.

Данное утверждение неверно. Чтобы доказать его ложность, достаточно привести один контрпример.

Пусть основание степени $a$ — целое число, например, $a = 4$. Пусть показатель степени $r$ — рациональное число, например, $r = \frac{1}{2}$. Тогда значение степени $a^r$ равно $4^{\frac{1}{2}} = \sqrt{4} = 2$. В этом случае значение является целым числом.

Однако, если мы возьмем в качестве основания другое целое число, например, $a = 2$, а показатель оставим тем же, $r = \frac{1}{2}$, то получим:

$2^{\frac{1}{2}} = \sqrt{2} \approx 1.414...$

Число $\sqrt{2}$ является иррациональным и, следовательно, не является целым. Таким образом, мы нашли пример, когда основание степени — целое число, а ее значение — не целое число. Это опровергает исходное утверждение.

Ответ: Нет, утверждение неверно.

3. При каких значениях a верно равенство $a^{\frac{2}{3}} = \sqrt[5]{a^2}$ ?

Для решения данного уравнения преобразуем его, представив обе части в виде степеней с одинаковым основанием $a$.

Левая часть уже имеет вид $a^{\frac{2}{3}}$.

Правую часть $\sqrt[5]{a^2}$ можно записать в виде степени с рациональным показателем: $(a^2)^{\frac{1}{5}} = a^{2 \cdot \frac{1}{5}} = a^{\frac{2}{5}}$.

Таким образом, исходное равенство эквивалентно уравнению:

$a^{\frac{2}{3}} = a^{\frac{2}{5}}$

Определим, при каких значениях $a$ обе части уравнения имеют смысл. Выражение $a^{\frac{2}{3}} = (\sqrt[3]{a})^2$ определено для всех действительных $a$. Выражение $\sqrt[5]{a^2}$ также определено для всех действительных $a$, так как $a^2 \ge 0$. Следовательно, мы можем искать решения на множестве всех действительных чисел $\mathbb{R}$.

Очевидными решениями являются $a=0$ (так как $0^{\frac{2}{3}}=0$ и $0^{\frac{2}{5}}=0$) и $a=1$ (так как $1^{\frac{2}{3}}=1$ и $1^{\frac{2}{5}}=1$).

Проверим также $a=-1$:$(-1)^{\frac{2}{3}} = (\sqrt[3]{-1})^2 = (-1)^2 = 1$$\sqrt[5]{(-1)^2} = \sqrt[5]{1} = 1$Так как $1=1$, то $a=-1$ также является решением.

Для нахождения всех решений возведем обе части уравнения $a^{\frac{2}{3}} = a^{\frac{2}{5}}$ в степень $15$, которая является наименьшим общим кратным знаменателей $3$ и $5$. Так как обе части уравнения ($a^{2/3}$ и $a^{2/5}$) всегда неотрицательны, это преобразование является равносильным.

$(a^{\frac{2}{3}})^{15} = (a^{\frac{2}{5}})^{15}$

$a^{10} = a^6$

Перенесем все члены в левую часть и вынесем общий множитель за скобки:

$a^{10} - a^6 = 0$

$a^6(a^4 - 1) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

1) $a^6 = 0 \Rightarrow a = 0$.

2) $a^4 - 1 = 0 \Rightarrow a^4 = 1$. Это уравнение имеет два действительных корня: $a = 1$ и $a = -1$.

Следовательно, данное равенство верно при трех значениях $a$.

Ответ: Равенство верно при $a \in \{-1, 0, 1\}$.