Страница 47 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1. Укажите область определения степени с рациональным показателем. Ответ обоснуйте.

2. Верно ли утверждение: если основанием степени с рациональным показателем является целое число, то значение данной степени образует множество целых чисел? Ответ обоснуйте.

3. При каких значениях $a$ верно равенство $a^{\frac{3}{5}} = \sqrt[5]{a^3}$ ?

1. Укажите область определения степени с рациональным показателем. Ответ обоснуйте.

Степень с рациональным показателем $r = \frac{m}{n}$, где $m$ — целое число ($m \in \mathbb{Z}$), а $n$ — натуральное число ($n \in \mathbb{N}, n \ge 2$), определяется по формуле $a^r = a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$.

Область определения этой степени, то есть множество допустимых значений основания $a$, устанавливается таким образом, чтобы результат был однозначно определен для любого рационального показателя $r$. Если допустить отрицательные значения для основания $a$, могут возникнуть противоречия. Например, рациональное число можно представить в виде разных дробей, например, $\frac{1}{3} = \frac{2}{6}$. Если взять $a = -8$, то получим:

$(-8)^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{-8} = -2$

С другой стороны:

$(-8)^{\frac{2}{6}} = \sqrt[6]{(-8)^2} = \sqrt[6]{64} = 2$

Мы получаем противоречие $-2 = 2$. Чтобы избежать подобных ситуаций и обеспечить однозначность значения степени с рациональным показателем, ее область определения ограничивают неотрицательными числами. Более того, если показатель степени $r$ отрицательный, например $r = -2$, то $a^r = a^{-2} = \frac{1}{a^2}$, и основание не может быть равным нулю. Поэтому в общем случае, для любого рационального показателя $r$, область определения степени $a^r$ — это множество всех положительных чисел.

В некоторых случаях определение расширяют: если $r > 0$, то допускается $a=0$. Однако стандартным и общепринятым является ограничение $a > 0$.

Ответ: Областью определения степени с рациональным показателем является множество всех положительных чисел, то есть $a > 0$.

2. Верно ли утверждение: если основанием степени с рациональным показателем является целое число, то значение данной степени образует множество целых чисел? Ответ обоснуйте.

Данное утверждение неверно. Чтобы доказать его ложность, достаточно привести один контрпример.

Пусть основание степени $a$ — целое число, например, $a = 4$. Пусть показатель степени $r$ — рациональное число, например, $r = \frac{1}{2}$. Тогда значение степени $a^r$ равно $4^{\frac{1}{2}} = \sqrt{4} = 2$. В этом случае значение является целым числом.

Однако, если мы возьмем в качестве основания другое целое число, например, $a = 2$, а показатель оставим тем же, $r = \frac{1}{2}$, то получим:

$2^{\frac{1}{2}} = \sqrt{2} \approx 1.414...$

Число $\sqrt{2}$ является иррациональным и, следовательно, не является целым. Таким образом, мы нашли пример, когда основание степени — целое число, а ее значение — не целое число. Это опровергает исходное утверждение.

Ответ: Нет, утверждение неверно.

3. При каких значениях a верно равенство $a^{\frac{2}{3}} = \sqrt[5]{a^2}$ ?

Для решения данного уравнения преобразуем его, представив обе части в виде степеней с одинаковым основанием $a$.

Левая часть уже имеет вид $a^{\frac{2}{3}}$.

Правую часть $\sqrt[5]{a^2}$ можно записать в виде степени с рациональным показателем: $(a^2)^{\frac{1}{5}} = a^{2 \cdot \frac{1}{5}} = a^{\frac{2}{5}}$.

Таким образом, исходное равенство эквивалентно уравнению:

$a^{\frac{2}{3}} = a^{\frac{2}{5}}$

Определим, при каких значениях $a$ обе части уравнения имеют смысл. Выражение $a^{\frac{2}{3}} = (\sqrt[3]{a})^2$ определено для всех действительных $a$. Выражение $\sqrt[5]{a^2}$ также определено для всех действительных $a$, так как $a^2 \ge 0$. Следовательно, мы можем искать решения на множестве всех действительных чисел $\mathbb{R}$.

Очевидными решениями являются $a=0$ (так как $0^{\frac{2}{3}}=0$ и $0^{\frac{2}{5}}=0$) и $a=1$ (так как $1^{\frac{2}{3}}=1$ и $1^{\frac{2}{5}}=1$).

Проверим также $a=-1$:$(-1)^{\frac{2}{3}} = (\sqrt[3]{-1})^2 = (-1)^2 = 1$$\sqrt[5]{(-1)^2} = \sqrt[5]{1} = 1$Так как $1=1$, то $a=-1$ также является решением.

Для нахождения всех решений возведем обе части уравнения $a^{\frac{2}{3}} = a^{\frac{2}{5}}$ в степень $15$, которая является наименьшим общим кратным знаменателей $3$ и $5$. Так как обе части уравнения ($a^{2/3}$ и $a^{2/5}$) всегда неотрицательны, это преобразование является равносильным.

$(a^{\frac{2}{3}})^{15} = (a^{\frac{2}{5}})^{15}$

$a^{10} = a^6$

Перенесем все члены в левую часть и вынесем общий множитель за скобки:

$a^{10} - a^6 = 0$

$a^6(a^4 - 1) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

1) $a^6 = 0 \Rightarrow a = 0$.

2) $a^4 - 1 = 0 \Rightarrow a^4 = 1$. Это уравнение имеет два действительных корня: $a = 1$ и $a = -1$.

Следовательно, данное равенство верно при трех значениях $a$.

Ответ: Равенство верно при $a \in \{-1, 0, 1\}$.

6.1. Напишите выражение в виде корня:

1) $3^{1.8}$;

2) $2^{1.6}$;

3) $6^{-1.5}$;

4) $7^{1.2}$.

1) Чтобы представить выражение $3^{1.8}$ в виде корня, сначала преобразуем десятичный показатель степени в обыкновенную дробь.

$1.8 = \frac{18}{10} = \frac{9}{5}$

Теперь воспользуемся свойством степени с рациональным показателем: $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$.

Подставив наши значения, получаем:

$3^{1.8} = 3^{\frac{9}{5}} = \sqrt[5]{3^9}$

Ответ: $\sqrt[5]{3^9}$.

2) Представим выражение $2^{1.6}$ в виде корня. Сначала преобразуем десятичный показатель в дробь.

$1.6 = \frac{16}{10} = \frac{8}{5}$

Используя формулу $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$, получаем:

$2^{1.6} = 2^{\frac{8}{5}} = \sqrt[5]{2^8}$

Ответ: $\sqrt[5]{2^8}$.

3) Чтобы представить выражение $6^{-1.5}$ в виде корня, сначала избавимся от отрицательного показателя, используя свойство $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.

$6^{-1.5} = \frac{1}{6^{1.5}}$

Теперь преобразуем десятичный показатель $1.5$ в дробь:

$1.5 = \frac{15}{10} = \frac{3}{2}$

Применим свойство $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$ к знаменателю:

$6^{\frac{3}{2}} = \sqrt[2]{6^3} = \sqrt{6^3}$

Таким образом, исходное выражение равно:

$6^{-1.5} = \frac{1}{\sqrt{6^3}}$

Ответ: $\frac{1}{\sqrt{6^3}}$.

4) Представим выражение $7^{1.2}$ в виде корня. Сначала преобразуем показатель степени в дробь.

$1.2 = \frac{12}{10} = \frac{6}{5}$

Используя формулу $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$, получаем:

$7^{1.2} = 7^{\frac{6}{5}} = \sqrt[5]{7^6}$

Ответ: $\sqrt[5]{7^6}$.

6.2. Напишите корни в виде степени с рациональным показателем:

1) $\sqrt[3]{x^{-2}}$;

2) $\sqrt[3]{3y}$;

3) $\sqrt[15]{x^{-10}}$;

4) $\sqrt[8]{5^3}$.

Для преобразования корня в степень с рациональным показателем используется основное свойство: $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$, где $n$ – это показатель корня, а $m$ – это показатель степени подкоренного выражения.

1) $\sqrt[3]{x^{-2}}$

В этом выражении показатель корня $n=3$, а показатель степени подкоренного выражения $m=-2$.

Применяя формулу, получаем:

$\sqrt[3]{x^{-2}} = x^{\frac{-2}{3}} = x^{-\frac{2}{3}}$

Ответ: $x^{-\frac{2}{3}}$

2) $\sqrt[5]{3y}$

Подкоренное выражение $3y$ можно представить как $(3y)^1$. Здесь показатель корня $n=5$, а показатель степени подкоренного выражения $m=1$.

Применяя формулу, получаем:

$\sqrt[5]{3y} = \sqrt[5]{(3y)^1} = (3y)^{\frac{1}{5}}$

Ответ: $(3y)^{\frac{1}{5}}$

3) $\sqrt[15]{x^{-10}}$

В данном случае показатель корня $n=15$, а показатель степени подкоренного выражения $m=-10$.

Запишем в виде степени с рациональным показателем:

$\sqrt[15]{x^{-10}} = x^{\frac{-10}{15}}$

Дробный показатель $\frac{-10}{15}$ можно сократить на 5:

$\frac{-10}{15} = -\frac{2}{3}$

Следовательно, итоговое выражение:

$x^{-\frac{2}{3}}$

Ответ: $x^{-\frac{2}{3}}$

4) $\sqrt[8]{5^3}$

Здесь показатель корня $n=8$, а показатель степени подкоренного выражения $m=3$.

Применяя формулу, получаем:

$\sqrt[8]{5^3} = 5^{\frac{3}{8}}$

Ответ: $5^{\frac{3}{8}}$

Найдите значения выражений (6.3—6.4):

6.3. 1) $81^{0.5}$;

2) $(\frac{256}{3^8})^{-\frac{1}{8}}$;

3) $16^{\frac{7}{4}}$;

4) $(\frac{27^3}{125^6})^{\frac{2}{9}}$.

1) Чтобы найти значение выражения $81^{0.5}$, представим десятичную степень в виде обыкновенной дроби: $0.5 = \frac{1}{2}$.

Таким образом, выражение принимает вид $81^{\frac{1}{2}}$.

Степень с показателем $\frac{1}{2}$ эквивалентна извлечению квадратного корня. Также можно представить основание 81 как $9^2$.

$81^{0.5} = 81^{\frac{1}{2}} = \sqrt{81} = 9$.

Или другим способом: $81^{0.5} = (9^2)^{0.5} = 9^{2 \cdot 0.5} = 9^1 = 9$.

Ответ: 9.

2) Для нахождения значения выражения $(\frac{256}{3^8})^{\frac{1}{8}}$, воспользуемся свойством степени $( \frac{a}{b} )^n = \frac{a^n}{b^n}$.

$(\frac{256}{3^8})^{\frac{1}{8}} = \frac{256^{\frac{1}{8}}}{(3^8)^{\frac{1}{8}}}$.

Представим число 256 в виде степени. Заметим, что $256 = 2^8$.

Теперь упростим числитель и знаменатель, используя свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

Числитель: $256^{\frac{1}{8}} = (2^8)^{\frac{1}{8}} = 2^{8 \cdot \frac{1}{8}} = 2^1 = 2$.

Знаменатель: $(3^8)^{\frac{1}{8}} = 3^{8 \cdot \frac{1}{8}} = 3^1 = 3$.

В результате получаем дробь $\frac{2}{3}$.

Ответ: $\frac{2}{3}$.

3) Чтобы найти значение выражения $16^{-\frac{7}{4}}$, используем свойство отрицательной степени $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.

$16^{-\frac{7}{4}} = \frac{1}{16^{\frac{7}{4}}}$.

Представим основание 16 как степень числа 2, то есть $16 = 2^4$.

Подставим это в выражение: $\frac{1}{(2^4)^{\frac{7}{4}}}$.

Используя свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, получаем: $\frac{1}{2^{4 \cdot \frac{7}{4}}} = \frac{1}{2^7}$.

Вычислим $2^7$: $2^7 = 128$.

Итоговое значение: $\frac{1}{128}$.

Ответ: $\frac{1}{128}$.

4) Для нахождения значения выражения $(\frac{27^3}{125^6})^{-\frac{2}{9}}$ сначала избавимся от отрицательного показателя степени, перевернув дробь по свойству $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$.

$(\frac{27^3}{125^6})^{-\frac{2}{9}} = (\frac{125^6}{27^3})^{\frac{2}{9}}$.

Теперь применим свойство степени к дроби: $(\frac{125^6}{27^3})^{\frac{2}{9}} = \frac{(125^6)^{\frac{2}{9}}}{(27^3)^{\frac{2}{9}}}$.

Представим основания 125 и 27 в виде степеней: $125 = 5^3$ и $27 = 3^3$.

Подставим эти значения в выражение: $\frac{((5^3)^6)^{\frac{2}{9}}}{((3^3)^3)^{\frac{2}{9}}} = \frac{(5^{18})^{\frac{2}{9}}}{(3^9)^{\frac{2}{9}}}$.

Воспользуемся свойством $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ для числителя и знаменателя.

Упрощаем числитель: $5^{18 \cdot \frac{2}{9}} = 5^{2 \cdot 2} = 5^4 = 625$.

Упрощаем знаменатель: $3^{9 \cdot \frac{2}{9}} = 3^2 = 9$.

В результате получаем: $\frac{625}{9}$.

Ответ: $\frac{625}{9}$.

6.4. 1) $(8^{\frac{1}{6}} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) : 8^{\frac{1}{2}} ; $

2) $\sqrt[3]{100} \cdot (\sqrt{2})^{\frac{9}{3}} \cdot (5)^{\frac{1}{3}} ; $

3) $81^{0.75} : 8^{\frac{7}{3}} ; $

4) $(\frac{36}{25})^{0.5} \cdot (\frac{125}{27})^{-\frac{1}{3}}.$

1) Для решения выражения $(8^{\frac{1}{6}} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) : 8^{\frac{1}{2}}$ представим основания степеней 8 и 9 в виде степеней простых чисел: $8 = 2^3$ и $9 = 3^2$.

Подставим эти значения в исходное выражение:

$((2^3)^{\frac{1}{6}} \cdot (3^2)^{\frac{3}{2}}) : (2^3)^{\frac{1}{2}}$

Воспользуемся свойством степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$(2^{3 \cdot \frac{1}{6}} \cdot 3^{2 \cdot \frac{3}{2}}) : 2^{3 \cdot \frac{1}{2}} = (2^{\frac{3}{6}} \cdot 3^3) : 2^{\frac{3}{2}} = (2^{\frac{1}{2}} \cdot 27) : 2^{\frac{1}{2}}$

Теперь раскроем скобки и применим свойство деления степеней с одинаковым основанием $a^m : a^n = a^{m-n}$:

$2^{\frac{1}{2}} \cdot 27 : 2^{\frac{1}{2}} = (2^{\frac{1}{2}} : 2^{\frac{1}{2}}) \cdot 27 = 2^{\frac{1}{2}-\frac{1}{2}} \cdot 27 = 2^0 \cdot 27$

Так как любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно 1, получаем:

$1 \cdot 27 = 27$

Ответ: $27$.

2) Для решения выражения $\sqrt[3]{100} \cdot (\sqrt{2})^{\frac{8}{3}} \cdot (5)^{\frac{1}{3}}$ перейдем от корней к степеням с дробными показателями и представим основания в виде степеней простых чисел.

$\sqrt[3]{100} = 100^{\frac{1}{3}} = (10^2)^{\frac{1}{3}} = ((2 \cdot 5)^2)^{\frac{1}{3}} = 2^{\frac{2}{3}} \cdot 5^{\frac{2}{3}}$

$(\sqrt{2})^{\frac{8}{3}} = (2^{\frac{1}{2}})^{\frac{8}{3}} = 2^{\frac{1}{2} \cdot \frac{8}{3}} = 2^{\frac{8}{6}} = 2^{\frac{4}{3}}$

Подставим преобразованные выражения в исходное:

$(2^{\frac{2}{3}} \cdot 5^{\frac{2}{3}}) \cdot 2^{\frac{4}{3}} \cdot 5^{\frac{1}{3}}$

Сгруппируем множители с одинаковыми основаниями и воспользуемся свойством умножения степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$(2^{\frac{2}{3}} \cdot 2^{\frac{4}{3}}) \cdot (5^{\frac{2}{3}} \cdot 5^{\frac{1}{3}}) = 2^{\frac{2}{3}+\frac{4}{3}} \cdot 5^{\frac{2}{3}+\frac{1}{3}} = 2^{\frac{6}{3}} \cdot 5^{\frac{3}{3}} = 2^2 \cdot 5^1$

Вычислим результат:

$4 \cdot 5 = 20$

Ответ: $20$.

3) Для решения выражения $81^{0.75} : 8^{\frac{2}{3}}$ сначала преобразуем десятичную степень в дробную: $0.75 = \frac{3}{4}$.

Затем представим основания 81 и 8 в виде степеней простых чисел: $81 = 3^4$ и $8 = 2^3$.

Подставим эти значения в выражение:

$(3^4)^{\frac{3}{4}} : (2^3)^{\frac{2}{3}}$

Используем свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$3^{4 \cdot \frac{3}{4}} : 2^{3 \cdot \frac{2}{3}} = 3^3 : 2^2$

Вычислим значения степеней:

$27 : 4 = \frac{27}{4}$

Ответ: $\frac{27}{4}$.

4) Для решения выражения $(\frac{36}{25})^{0.5} \cdot (\frac{125}{27})^{-\frac{1}{3}}$ преобразуем десятичную степень в дробную $0.5 = \frac{1}{2}$ и воспользуемся свойством отрицательной степени $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$.

Выражение примет вид:

$(\frac{36}{25})^{\frac{1}{2}} \cdot (\frac{27}{125})^{\frac{1}{3}}$

Применим свойство $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$:

$\frac{36^{\frac{1}{2}}}{25^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{27^{\frac{1}{3}}}{125^{\frac{1}{3}}}$

Поскольку степень $\frac{1}{2}$ эквивалентна квадратному корню, а степень $\frac{1}{3}$ - кубическому корню, получаем:

$\frac{\sqrt{36}}{\sqrt{25}} \cdot \frac{\sqrt[3]{27}}{\sqrt[3]{125}} = \frac{6}{5} \cdot \frac{3}{5}$

Перемножим дроби:

$\frac{6 \cdot 3}{5 \cdot 5} = \frac{18}{25}$

Ответ: $\frac{18}{25}$.