Страница 43 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

5.17. 1) $3 - \sqrt{1\frac{9}{16}} - 0.2\sqrt{625};$

2) $2 \cdot \sqrt{1\frac{24}{25}} + 0.8\sqrt[3]{0.008};$

3) $0.25 \cdot \sqrt[3]{729} - 0.15\sqrt[3]{0.0016};$

4) $5.6 \cdot \sqrt[3]{243} + 0.75\sqrt[3]{1.331}.$

1) $3 - \sqrt{1\frac{9}{16}} - 0,2 \cdot \sqrt[4]{625}$

Решим по шагам:

1. Преобразуем смешанное число под корнем в неправильную дробь и извлечем квадратный корень: $\sqrt{1\frac{9}{16}} = \sqrt{\frac{1 \cdot 16 + 9}{16}} = \sqrt{\frac{25}{16}} = \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{16}} = \frac{5}{4} = 1,25$.

2. Найдем корень четвертой степени: $\sqrt[4]{625} = 5$, так как $5^4 = 625$.

3. Подставим найденные значения в исходное выражение и вычислим: $3 - 1,25 - 0,2 \cdot 5 = 3 - 1,25 - 1 = 1,75 - 1 = 0,75$.

Ответ: $0,75$

2) $2 \cdot \sqrt{1\frac{24}{25}} + 0,8 \cdot \sqrt[3]{0,008}$

Решим по шагам:

1. Преобразуем смешанное число и извлечем квадратный корень: $\sqrt{1\frac{24}{25}} = \sqrt{\frac{1 \cdot 25 + 24}{25}} = \sqrt{\frac{49}{25}} = \frac{\sqrt{49}}{\sqrt{25}} = \frac{7}{5} = 1,4$.

2. Найдем кубический корень: $\sqrt[3]{0,008} = 0,2$, так как $0,2^3 = 0,008$.

3. Подставим найденные значения в выражение и вычислим: $2 \cdot 1,4 + 0,8 \cdot 0,2 = 2,8 + 0,16 = 2,96$.

Ответ: $2,96$

3) $0,25 \cdot \sqrt[3]{729} - 0,15 \cdot \sqrt[4]{0,0016}$

Решим по шагам:

1. Найдем кубический корень: $\sqrt[3]{729} = 9$, так как $9^3 = 729$.

2. Найдем корень четвертой степени: $\sqrt[4]{0,0016} = 0,2$, так как $0,2^4 = 0,0016$.

3. Подставим значения в выражение и вычислим: $0,25 \cdot 9 - 0,15 \cdot 0,2 = 2,25 - 0,03 = 2,22$.

Ответ: $2,22$

4) $5,6 \cdot \sqrt[5]{243} + 0,75 \cdot \sqrt[3]{1,331}$

Решим по шагам:

1. Найдем корень пятой степени: $\sqrt[5]{243} = 3$, так как $3^5 = 243$.

2. Найдем кубический корень: $\sqrt[3]{1,331} = 1,1$, так как $1,1^3 = 1,331$.

3. Подставим значения в выражение и вычислим: $5,6 \cdot 3 + 0,75 \cdot 1,1 = 16,8 + 0,825 = 17,625$.

Ответ: $17,625$

5.18. 1) $ (3\sqrt{175}-2\sqrt{112}-3\sqrt{63})^2 + 0,25\sqrt[4]{10000} $;

2) $ (5\sqrt{150}-3\sqrt{24}+2\sqrt{54})^2 - 0,02\sqrt[4]{625} $;

3) $ \sqrt[3]{375} + 0,25\sqrt[3]{192} + 10\sqrt[3]{3000} $;

4) $ 5\sqrt[3]{24} + \sqrt[4]{0,1296} - 1,6\sqrt[3]{375} $.

1) $(3\sqrt{175}-2\sqrt{112}-3\sqrt{63})^2 + 0,25\sqrt[4]{10000}$

Сначала упростим выражение в скобках. Для этого вынесем множители из-под знаков квадратных корней, найдя у подкоренных выражений общую часть.

$\sqrt{175} = \sqrt{25 \cdot 7} = \sqrt{5^2 \cdot 7} = 5\sqrt{7}$

$\sqrt{112} = \sqrt{16 \cdot 7} = \sqrt{4^2 \cdot 7} = 4\sqrt{7}$

$\sqrt{63} = \sqrt{9 \cdot 7} = \sqrt{3^2 \cdot 7} = 3\sqrt{7}$

Подставим упрощенные значения в исходное выражение:

$(3 \cdot 5\sqrt{7} - 2 \cdot 4\sqrt{7} - 3 \cdot 3\sqrt{7})^2 + 0,25\sqrt[4]{10000}$

Выполним умножение в скобках:

$(15\sqrt{7} - 8\sqrt{7} - 9\sqrt{7})^2 + 0,25\sqrt[4]{10000}$

Теперь сложим и вычтем слагаемые в скобках:

$((15 - 8 - 9)\sqrt{7})^2 + 0,25\sqrt[4]{10000} = (-2\sqrt{7})^2 + 0,25\sqrt[4]{10000}$

Возведем в квадрат первое слагаемое:

$(-2\sqrt{7})^2 = (-2)^2 \cdot (\sqrt{7})^2 = 4 \cdot 7 = 28$

Вычислим второе слагаемое:

$0,25\sqrt[4]{10000} = 0,25 \cdot \sqrt[4]{10^4} = 0,25 \cdot 10 = 2,5$

Сложим полученные результаты:

$28 + 2,5 = 30,5$

Ответ: 30,5

2) $(5\sqrt{150}-3\sqrt{24}+2\sqrt{54})^2 - 0,02\sqrt[4]{625}$

Упростим выражение в скобках, вынеся множители из-под знаков корня.

$\sqrt{150} = \sqrt{25 \cdot 6} = 5\sqrt{6}$

$\sqrt{24} = \sqrt{4 \cdot 6} = 2\sqrt{6}$

$\sqrt{54} = \sqrt{9 \cdot 6} = 3\sqrt{6}$

Подставим упрощенные значения в выражение:

$(5 \cdot 5\sqrt{6} - 3 \cdot 2\sqrt{6} + 2 \cdot 3\sqrt{6})^2 - 0,02\sqrt[4]{625}$

$(25\sqrt{6} - 6\sqrt{6} + 6\sqrt{6})^2 - 0,02\sqrt[4]{625}$

Скомбинируем слагаемые в скобках:

$(25\sqrt{6})^2 - 0,02\sqrt[4]{625}$

Возведем в квадрат первое слагаемое:

$(25\sqrt{6})^2 = 25^2 \cdot (\sqrt{6})^2 = 625 \cdot 6 = 3750$

Вычислим второе слагаемое:

$0,02\sqrt[4]{625} = 0,02 \cdot \sqrt[4]{5^4} = 0,02 \cdot 5 = 0,1$

Вычтем из первого результата второй:

$3750 - 0,1 = 3749,9$

Ответ: 3749,9

3) $\sqrt[3]{375} + 0,25\sqrt[3]{192} + 10\sqrt[3]{3000}$

Упростим каждое слагаемое, вынося множители из-под знака кубического корня.

$\sqrt[3]{375} = \sqrt[3]{125 \cdot 3} = \sqrt[3]{5^3 \cdot 3} = 5\sqrt[3]{3}$

$\sqrt[3]{192} = \sqrt[3]{64 \cdot 3} = \sqrt[3]{4^3 \cdot 3} = 4\sqrt[3]{3}$

$\sqrt[3]{3000} = \sqrt[3]{1000 \cdot 3} = \sqrt[3]{10^3 \cdot 3} = 10\sqrt[3]{3}$

Подставим упрощенные значения в исходное выражение:

$5\sqrt[3]{3} + 0,25 \cdot (4\sqrt[3]{3}) + 10 \cdot (10\sqrt[3]{3})$

Выполним умножение:

$5\sqrt[3]{3} + 1\sqrt[3]{3} + 100\sqrt[3]{3}$

Сложим коэффициенты при общем множителе $\sqrt[3]{3}$:

$(5 + 1 + 100)\sqrt[3]{3} = 106\sqrt[3]{3}$

Ответ: $106\sqrt[3]{3}$

4) $5\sqrt[3]{24} + \sqrt[4]{0,1296} - 1,6\sqrt[3]{375}$

Упростим каждое слагаемое по отдельности.

Первое слагаемое: $5\sqrt[3]{24} = 5\sqrt[3]{8 \cdot 3} = 5 \cdot \sqrt[3]{2^3 \cdot 3} = 5 \cdot 2\sqrt[3]{3} = 10\sqrt[3]{3}$

Второе слагаемое: $\sqrt[4]{0,1296} = \sqrt[4]{\frac{1296}{10000}} = \frac{\sqrt[4]{1296}}{\sqrt[4]{10000}} = \frac{\sqrt[4]{6^4}}{\sqrt[4]{10^4}} = \frac{6}{10} = 0,6$

Третье слагаемое: $1,6\sqrt[3]{375} = 1,6\sqrt[3]{125 \cdot 3} = 1,6 \cdot \sqrt[3]{5^3 \cdot 3} = 1,6 \cdot 5\sqrt[3]{3} = 8\sqrt[3]{3}$

Подставим упрощенные значения в исходное выражение:

$10\sqrt[3]{3} + 0,6 - 8\sqrt[3]{3}$

Сгруппируем слагаемые с корнем:

$(10\sqrt[3]{3} - 8\sqrt[3]{3}) + 0,6 = (10 - 8)\sqrt[3]{3} + 0,6 = 2\sqrt[3]{3} + 0,6$

Ответ: $2\sqrt[3]{3} + 0,6$

ПОДГОТОВЬТЕ СООБЩЕНИЕ ОБ УЧЕНЫХ-МАТЕМАТИКАХ

5.19. Знаки $\sqrt{ }$ и $\sqrt[3]{ }$ последовательно стали применять французский математик Альберт Жирар, немецкий философ и математик Гольфрид Вильгельм Лейбниц.

А. Жирар

(1595—1632)

Альбер Жирар (1595–1632)

Альбер Жирар — выдающийся французский математик, инженер и музыкант, живший в Нидерландах. Его основной вклад в математику связан с алгеброй. В своем знаменитом труде «Новое открытие в алгебре» (L'invention nouvelle en l'algèbre), опубликованном в 1629 году, Жирар сделал несколько важных нововведений. Одним из самых значимых стало усовершенствование обозначения корней. До него для обозначения корней разных степеней использовались громоздкие словесные описания или различные символы. Жирар предложил указывать показатель корня (число $n$ в выражении $\sqrt[n]{a}$) в разрыве знака радикала. Например, он ввёл запись $\sqrt[3]{}$ для кубического корня. Это обозначение оказалось очень удобным и быстро прижилось в научном сообществе. Кроме этого, Жирар одним из первых сформулировал основную теорему алгебры о том, что уравнение n-й степени имеет n корней (учитывая комплексные и кратные корни).

Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646–1716)

Готфрид Вильгельм Лейбниц — гениальный немецкий учёный-энциклопедист, философ, логик и математик. Наряду с Исааком Ньютоном, он является создателем дифференциального и интегрального исчисления. Лейбниц придавал огромное значение разработке удобной и интуитивно понятной математической символики, справедливо полагая, что удачные обозначения облегчают мышление и способствуют новым открытиям. Хотя знак квадратного корня $\sqrt{}$ был предложен до него (немецким математиком Кристофом Рудольффом в 1525 году), а обозначение для корня n-й степени $\sqrt[n]{}$ ввёл Альбер Жирар, именно Лейбниц сыграл решающую роль в их популяризации. В своих многочисленных трудах и обширной переписке с другими учёными Лейбниц активно использовал эти символы. Благодаря его колоссальному научному авторитету, предложенные Жираром обозначения для корней высших степеней стали общепринятым стандартом в европейской математике, которым мы пользуемся и по сей день. Таким образом, вклад Лейбница состоял в закреплении и стандартизации уже существовавшей нотации.

Ответ: Французский математик Альбер Жирар ввёл в употребление обозначение для корня n-ой степени, помещая показатель $n$ в знак радикала ($\sqrt[n]{}$). Немецкий учёный Готфрид Вильгельм Лейбниц, благодаря своему огромному научному авторитету, способствовал широкому распространению и превращению этого обозначения в общепринятый стандарт.