Страница 38 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

15. Найдите значение интеграла $\int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \frac{1}{4} \cos x dx$:

A) $\frac{1}{16}$;

B) $-\frac{1}{16}$;

C) $-\frac{1}{8}$;

D) $\frac{1}{8}$.

Для вычисления значения определенного интеграла $ \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \frac{1}{4}\cos{x}dx $ воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница.

1. Первым шагом вынесем постоянный множитель $ \frac{1}{4} $ за знак интеграла, так как это является одним из свойств определенного интеграла:

$ \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \frac{1}{4}\cos{x}dx = \frac{1}{4}\int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \cos{x}dx $

2. Далее находим первообразную для подынтегральной функции $ f(x) = \cos{x} $. Из таблицы первообразных известно, что первообразной для косинуса является синус, то есть $ F(x) = \sin{x} $.

3. Теперь применяем формулу Ньютона-Лейбница, которая гласит $ \int_{a}^{b} f(x)dx = F(b) - F(a) $. Подставляем наши значения: верхний предел $ b = \frac{\pi}{6} $ и нижний предел $ a = 0 $:

$ \frac{1}{4} \cdot [\sin{x}]_{0}^{\frac{\pi}{6}} = \frac{1}{4} \left( \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) - \sin(0) \right) $

4. Вычисляем значения синуса в указанных точках:

$ \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2} $

$ \sin(0) = 0 $

5. Подставляем эти значения обратно в наше выражение и производим окончательный расчет:

$ \frac{1}{4} \left( \frac{1}{2} - 0 \right) = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{8} $

Полученное значение $ \frac{1}{8} $ соответствует варианту D.

Ответ: $ \frac{1}{8} $

16. Вычислите $\int_{-1}^{0} \frac{x^3 - 4x^2 - 5x}{x - 5} dx:$

A $\frac{1}{6};$ B) $-\frac{1}{6};$ C) $\frac{5}{6};$ D) $-\frac{5}{6}.$

Для вычисления определенного интеграла $\int_{-1}^{0} \frac{x^3 - 4x^2 - 5x}{x - 5} dx$ сначала необходимо упростить подынтегральную функцию. Для этого разложим числитель $x^3 - 4x^2 - 5x$ на множители.

1. Вынесем общий множитель $x$ за скобки: $x(x^2 - 4x - 5)$.

2. Теперь разложим на множители квадратный трехчлен $x^2 - 4x - 5$. Найдем корни соответствующего уравнения $x^2 - 4x - 5 = 0$. Используя теорему Виета или формулу для корней квадратного уравнения, находим корни: $x_1 = 5$ и $x_2 = -1$.

3. Таким образом, $x^2 - 4x - 5 = (x - 5)(x - (-1)) = (x - 5)(x + 1)$.

4. Следовательно, весь числитель равен $x(x - 5)(x + 1)$.

Теперь подынтегральное выражение можно переписать в виде $\frac{x(x - 5)(x + 1)}{x - 5}$.

Так как отрезок интегрирования $[-1, 0]$ не содержит точку $x=5$, в которой знаменатель обращается в ноль, мы можем сократить дробь на множитель $(x - 5)$. В результате подынтегральная функция упрощается до $x(x + 1)$, или $x^2 + x$.

Исходный интеграл принимает вид:

$\int_{-1}^{0} (x^2 + x) dx$.

Для его вычисления воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница. Сначала найдем первообразную для функции $f(x) = x^2 + x$:

$F(x) = \int (x^2 + x) dx = \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2}$.

Теперь подставим пределы интегрирования:

$\int_{-1}^{0} (x^2 + x) dx = \left. \left( \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} \right) \right|_{-1}^{0} = \left( \frac{0^3}{3} + \frac{0^2}{2} \right) - \left( \frac{(-1)^3}{3} + \frac{(-1)^2}{2} \right)$.

Выполним вычисления:

$(0 + 0) - \left( -\frac{1}{3} + \frac{1}{2} \right) = - \left( \frac{-2}{6} + \frac{3}{6} \right) = - \left( \frac{1}{6} \right) = -\frac{1}{6}$.

Ответ: $-\frac{1}{6}$.

17. Площадь плоской фигуры, изображенной на рисунке, находится по формуле:

A $S = \int_{-a}^{a} f(x)dx + S_{\triangle}$;

B $S = \int_{-a}^{a} f(x)dx;

C $S = \int_{-a}^{a} f(x)dx - S_{\triangle}$;

D $S = 2 \int_{0}^{a} f(x)dx + S_{\triangle}$.

18. Какое из приведенных ниже выражений:

Площадь заштрихованной фигуры представляет собой площадь криволинейной трапеции. Эта фигура ограничена следующими линиями: сверху — графиком функции $y = f(x)$, снизу — осью абсцисс ($y = 0$), слева — вертикальной прямой $x = -a$, и справа — вертикальной прямой $x = a$.

Согласно геометрическому смыслу определенного интеграла, площадь фигуры, ограниченной графиком неотрицательной функции $y = f(x)$ на отрезке $[b, c]$, осью абсцисс и прямыми $x=b$ и $x=c$, вычисляется по формуле:

$S = \int_{b}^{c} f(x) dx$

Применяя эту формулу к данной задаче, где пределы интегрирования $b=-a$ и $c=a$, получаем, что искомая площадь $S$ равна:

$S = \int_{-a}^{a} f(x) dx$

Теперь проанализируем предложенные варианты ответов:

A) $S = \int_{-a}^{a} f(x)dx + S_{\Delta}$; — Неверно. Эта формула представляет сумму площади под графиком и площади некоторого треугольника $S_{\Delta}$, что приводит к неверному результату. Прямая $y=g(x)$ и связанный с ней треугольник не определяют границы заштрихованной области.

B) $S = \int_{-a}^{a} f(x)dx$; — Верно. Эта формула в точности соответствует определению площади криволинейной трапеции, изображенной на рисунке.

C) $S = \int_{-a}^{a} f(x)dx - S_{\Delta}$; — Неверно. Вычитание площади $S_{\Delta}$ из площади под графиком не имеет геометрического обоснования для нахождения площади заштрихованной фигуры.

D) $S = 2 \int_{0}^{a} f(x)dx + S_{\Delta}$; — Неверно. Удвоение интеграла от 0 до $a$ справедливо только для четных функций ($f(-x)=f(x)$), что не является общим случаем и не гарантируется условием задачи. Кроме того, как и в варианте A, здесь неверно прибавляется площадь $S_{\Delta}$.

Таким образом, единственной правильной формулой является формула из варианта B.

Ответ: B) $S = \int_{-a}^{a} f(x)dx;$

18. Какое из приведенных неравенств неверное:

A) $\int_{1}^{2} x^2 dx < \int_{2}^{3} x dx;$

B) $\int_{1}^{9} \frac{1}{2\sqrt{x}} dx > \int_{1}^{2} \frac{1}{2\sqrt{x}} dx;$

C) $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x dx;$

D) $\frac{1}{7} \int_{3}^{4} dx < \int_{100}^{101} dx?$

Для того чтобы определить, какое из приведенных неравенств неверное, проанализируем каждое утверждение по отдельности.

A) $ \int_{1}^{2} x^2 dx < \int_{2}^{3} x dx $

Сначала вычислим интеграл в левой части неравенства:$ \int_{1}^{2} x^2 dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{1}^{2} = \frac{2^3}{3} - \frac{1^3}{3} = \frac{8}{3} - \frac{1}{3} = \frac{7}{3} $.Теперь вычислим интеграл в правой части:$ \int_{2}^{3} x dx = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{2}^{3} = \frac{3^2}{2} - \frac{2^2}{2} = \frac{9}{2} - \frac{4}{2} = \frac{5}{2} $.Сравним полученные значения $\frac{7}{3}$ и $\frac{5}{2}$. Для этого приведем дроби к общему знаменателю 6:$\frac{7}{3} = \frac{14}{6}$ и $\frac{5}{2} = \frac{15}{6}$.Поскольку $14 < 15$, то $\frac{14}{6} < \frac{15}{6}$. Следовательно, данное неравенство верно.

Ответ: Верно.

B) $ \int_{1}^{9} \frac{1}{2\sqrt{x}} dx > \int_{1}^{2} \frac{1}{2\sqrt{x}} dx $

Вычислим оба интеграла. Первообразная для функции $f(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ есть $F(x) = \sqrt{x}$.Левая часть:$ \int_{1}^{9} \frac{1}{2\sqrt{x}} dx = \left[ \sqrt{x} \right]_{1}^{9} = \sqrt{9} - \sqrt{1} = 3 - 1 = 2 $.Правая часть:$ \int_{1}^{2} \frac{1}{2\sqrt{x}} dx = \left[ \sqrt{x} \right]_{1}^{2} = \sqrt{2} - \sqrt{1} = \sqrt{2} - 1 $.Сравним значения $2$ и $\sqrt{2} - 1$. Неравенство $2 > \sqrt{2} - 1$ является верным, так как оно эквивалентно неравенству $3 > \sqrt{2}$, что очевидно.Кроме того, подынтегральная функция $f(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ положительна при $x>0$. Интеграл от положительной функции по промежутку $[a,b]$ можно рассматривать как площадь. Так как промежуток $[1, 9]$ включает в себя промежуток $[1, 2]$ и функция положительна, то $ \int_{1}^{9} f(x)dx = \int_{1}^{2} f(x)dx + \int_{2}^{9} f(x)dx $, где $ \int_{2}^{9} f(x)dx > 0 $. Отсюда следует, что неравенство верно.

Ответ: Верно.

C) $ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x dx $

Вычислим интеграл в левой части:$ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x dx = \left[ -\cos x \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = (-\cos(\frac{\pi}{2})) - (-\cos(0)) = -0 - (-1) = 1 $.Вычислим интеграл в правой части:$ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x dx = \left[ \sin x \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \sin(\frac{\pi}{2}) - \sin(0) = 1 - 0 = 1 $.В результате мы получили верное равенство $1 = 1$. Вопрос задачи состоит в том, чтобы найти *неверное неравенство*. Утверждения A, B и D являются верными строгими неравенствами. Утверждение C является верным равенством. Равенство двух величин означает, что любое строгое неравенство ($<$ или $>$) между ними будет ложным. Таким образом, из всех предложенных вариантов, именно С можно трактовать как неверное неравенство.

Ответ: C.

D) $ \frac{1}{7} \int_{3}^{4} dx < \int_{100}^{101} dx $

Вычислим значение выражения в левой части:$ \frac{1}{7} \int_{3}^{4} dx = \frac{1}{7} \left[ x \right]_{3}^{4} = \frac{1}{7}(4 - 3) = \frac{1}{7} \cdot 1 = \frac{1}{7} $.Вычислим интеграл в правой части:$ \int_{100}^{101} dx = \left[ x \right]_{100}^{101} = 101 - 100 = 1 $.Сравним полученные результаты: $\frac{1}{7} < 1$. Данное неравенство является верным.

Ответ: Верно.

19. При каких значениях $x$ выполняется равенство $\int_{0}^{x} (2t - 5)dt = -6:$

A) таких значений не существует;

B) -2; -3;

C) любое число;

D) 2; 3?

Чтобы найти значения $x$, при которых выполняется равенство, необходимо сначала вычислить определенный интеграл в левой части. Для этого воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница: $\int_{a}^{b} f(t) dt = F(b) - F(a)$, где $F(t)$ является первообразной для функции $f(t)$.

Первообразная для подынтегральной функции $f(t) = 2t - 5$ находится следующим образом:$F(t) = \int (2t - 5) dt = 2 \cdot \frac{t^2}{2} - 5t = t^2 - 5t$.

Теперь вычислим определенный интеграл с пределами от 0 до $x$:$\int_{0}^{x} (2t - 5) dt = (t^2 - 5t) \Big|_{0}^{x} = (x^2 - 5x) - (0^2 - 5 \cdot 0) = x^2 - 5x$.

Согласно условию задачи, значение интеграла равно -6. Приравняем полученное выражение к этому значению и решим получившееся уравнение:$x^2 - 5x = -6$.

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:$x^2 - 5x + 6 = 0$.

Решим это уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна коэффициенту при $x$ с противоположным знаком, то есть 5, а произведение корней равно свободному члену, то есть 6. Легко подобрать корни:$x_1 = 2$ и $x_2 = 3$.Их сумма $2+3=5$, а их произведение $2 \cdot 3=6$.

Таким образом, равенство выполняется при значениях $x = 2$ и $x = 3$. Сравнивая с предложенными вариантами, видим, что это соответствует ответу D).Ответ: D) 2; 3?

20. При каких значениях $x$ выполняется неравенство $\int_0^x (2t - 4)dt < -3$:

A) $(1; 3);$

B) $(-\infty; 1] \cup [3; +\infty);$

C) $[1; 3];$

D) $[-3; -1]$?

Для решения данного неравенства $\int_{0}^{x} (2t - 4)dt < -3$ необходимо сначала вычислить определенный интеграл в левой части.

1. Вычисление интеграла

Найдем первообразную для подынтегральной функции $f(t) = 2t - 4$. Первообразная $F(t)$ вычисляется как:

$F(t) = \int (2t - 4) dt = 2 \cdot \frac{t^2}{2} - 4t + C = t^2 - 4t + C$

Далее, по формуле Ньютона-Лейбница, вычислим определенный интеграл:

$\int_{0}^{x} (2t - 4) dt = (x^2 - 4x) - (0^2 - 4 \cdot 0) = x^2 - 4x$

2. Решение неравенства

Теперь подставим полученное выражение в исходное неравенство:

$x^2 - 4x < -3$

Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное неравенство:

$x^2 - 4x + 3 < 0$

Чтобы решить это неравенство, найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 4x + 3 = 0$.

Корни можно найти по теореме Виета: сумма корней равна $4$, а их произведение равно $3$. Отсюда легко находим корни $x_1 = 1$ и $x_2 = 3$.

Таким образом, парабола $y = x^2 - 4x + 3$ пересекает ось абсцисс в точках $x=1$ и $x=3$. Так как коэффициент при $x^2$ положителен (равен 1), ветви параболы направлены вверх.

Неравенство $x^2 - 4x + 3 < 0$ выполняется на том интервале, где график параболы находится ниже оси абсцисс, то есть между корнями.

Следовательно, решением неравенства является интервал $(1; 3)$.

Сравнивая полученный результат с предложенными вариантами, мы видим, что он соответствует варианту А).

Ответ: A) $(1; 3)$.