Номер 16, страница 38 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

16. Вычислите $\int_{-1}^{0} \frac{x^3 - 4x^2 - 5x}{x - 5} dx:$

A $\frac{1}{6};$ B) $-\frac{1}{6};$ C) $\frac{5}{6};$ D) $-\frac{5}{6}.$

Для вычисления определенного интеграла $\int_{-1}^{0} \frac{x^3 - 4x^2 - 5x}{x - 5} dx$ сначала необходимо упростить подынтегральную функцию. Для этого разложим числитель $x^3 - 4x^2 - 5x$ на множители.

1. Вынесем общий множитель $x$ за скобки: $x(x^2 - 4x - 5)$.

2. Теперь разложим на множители квадратный трехчлен $x^2 - 4x - 5$. Найдем корни соответствующего уравнения $x^2 - 4x - 5 = 0$. Используя теорему Виета или формулу для корней квадратного уравнения, находим корни: $x_1 = 5$ и $x_2 = -1$.

3. Таким образом, $x^2 - 4x - 5 = (x - 5)(x - (-1)) = (x - 5)(x + 1)$.

4. Следовательно, весь числитель равен $x(x - 5)(x + 1)$.

Теперь подынтегральное выражение можно переписать в виде $\frac{x(x - 5)(x + 1)}{x - 5}$.

Так как отрезок интегрирования $[-1, 0]$ не содержит точку $x=5$, в которой знаменатель обращается в ноль, мы можем сократить дробь на множитель $(x - 5)$. В результате подынтегральная функция упрощается до $x(x + 1)$, или $x^2 + x$.

Исходный интеграл принимает вид:

$\int_{-1}^{0} (x^2 + x) dx$.

Для его вычисления воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница. Сначала найдем первообразную для функции $f(x) = x^2 + x$:

$F(x) = \int (x^2 + x) dx = \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2}$.

Теперь подставим пределы интегрирования:

$\int_{-1}^{0} (x^2 + x) dx = \left. \left( \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} \right) \right|_{-1}^{0} = \left( \frac{0^3}{3} + \frac{0^2}{2} \right) - \left( \frac{(-1)^3}{3} + \frac{(-1)^2}{2} \right)$.

Выполним вычисления:

$(0 + 0) - \left( -\frac{1}{3} + \frac{1}{2} \right) = - \left( \frac{-2}{6} + \frac{3}{6} \right) = - \left( \frac{1}{6} \right) = -\frac{1}{6}$.

Ответ: $-\frac{1}{6}$.