Номер 12, страница 37 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

12. Вычислите площадь плоской фигуры, изображенной на рисунке:

A $\frac{3}{4}$;

B $\frac{14}{3}$;

C $\frac{4}{3}$;

D $\frac{32}{3}$.

13. Какое условие должно выполняться для того, чтобы функция $F(x)$ была первообразной для

12. Площадь заштрихованной фигуры вычисляется как определенный интеграл разности функций, ограничивающих ее сверху и снизу.

Верхняя граница — это прямая $y_1 = 3$.

Нижняя граница — это парабола $y_2 = x^2 - 4x + 6$.

Пределы интегрирования, $a$ и $b$, являются абсциссами точек пересечения этих двух графиков. Чтобы найти их, приравняем выражения для $y$:

$x^2 - 4x + 6 = 3$

$x^2 - 4x + 3 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 4, а их произведение равно 3. Таким образом, корни уравнения: $x_1 = 1$ и $x_2 = 3$.

Это и есть наши пределы интегрирования: $a = 1$, $b = 3$.

Площадь $S$ находится по формуле:

$S = \int_{a}^{b} (y_1(x) - y_2(x)) dx$

Подставим наши функции и пределы:

$S = \int_{1}^{3} (3 - (x^2 - 4x + 6)) dx = \int_{1}^{3} (3 - x^2 + 4x - 6) dx = \int_{1}^{3} (-x^2 + 4x - 3) dx$

Для вычисления интеграла применим формулу Ньютона-Лейбница. Сначала найдем первообразную для подынтегральной функции $f(x) = -x^2 + 4x - 3$:

$F(x) = \int (-x^2 + 4x - 3) dx = -\frac{x^3}{3} + \frac{4x^2}{2} - 3x = -\frac{x^3}{3} + 2x^2 - 3x$

Теперь вычислим значение определенного интеграла:

$S = F(3) - F(1) = \left(-\frac{3^3}{3} + 2 \cdot 3^2 - 3 \cdot 3\right) - \left(-\frac{1^3}{3} + 2 \cdot 1^2 - 3 \cdot 1\right)$

$S = \left(-9 + 18 - 9\right) - \left(-\frac{1}{3} + 2 - 3\right) = 0 - \left(-\frac{1}{3} - 1\right) = 0 - \left(-\frac{4}{3}\right) = \frac{4}{3}$

Таким образом, площадь фигуры равна $\frac{4}{3}$. Это соответствует варианту ответа C).

Ответ: C) $\frac{4}{3}$.

13. Согласно определению, функция $F(x)$ называется первообразной для функции $f(x)$ на некотором промежутке, если для всех значений $x$ из этого промежутка выполняется равенство производной функции $F(x)$ и функции $f(x)$.

Математически это условие записывается в виде формулы:

$F'(x) = f(x)$

Это равенство является основным и единственным условием, которое должно выполняться, чтобы функция $F(x)$ считалась первообразной для $f(x)$.

Ответ: Для того чтобы функция $F(x)$ была первообразной для функции $f(x)$ на некотором промежутке, необходимо, чтобы на этом промежутке выполнялось равенство $F'(x) = f(x)$.