Номер 8, страница 37 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

8. Вычислите интеграл $ \int_{-1}^{1} x^{10} dx: $

A) $0;$

B) $ \frac{2}{11}; $

C) $22;$

D) $ \frac{1}{22}. $

Для вычисления определенного интеграла $\int_{-1}^{1} x^{10} dx$ необходимо найти первообразную подынтегральной функции и применить формулу Ньютона-Лейбница: $\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ — первообразная для $f(x)$.

1. Найдем первообразную для функции $f(x) = x^{10}$. Согласно таблице интегралов для степенной функции, $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$. В нашем случае $n=10$, поэтому:

$F(x) = \frac{x^{10+1}}{10+1} = \frac{x^{11}}{11}$

2. Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница для пределов интегрирования от -1 до 1:

$\int_{-1}^{1} x^{10} dx = \left. \frac{x^{11}}{11} \right|_{-1}^{1} = F(1) - F(-1)$

3. Подставим значения верхнего и нижнего пределов в первообразную:

$F(1) = \frac{1^{11}}{11} = \frac{1}{11}$

$F(-1) = \frac{(-1)^{11}}{11} = \frac{-1}{11}$ (так как 11 — нечетное число)

4. Вычислим разность:

$\int_{-1}^{1} x^{10} dx = \frac{1}{11} - \left(-\frac{1}{11}\right) = \frac{1}{11} + \frac{1}{11} = \frac{2}{11}$

Альтернативный способ:

Можно заметить, что подынтегральная функция $f(x) = x^{10}$ является четной, так как $f(-x) = (-x)^{10} = x^{10} = f(x)$. Для четной функции интеграл по симметричному промежутку $[-a, a]$ вычисляется как $2 \int_{0}^{a} f(x) dx$.

$\int_{-1}^{1} x^{10} dx = 2 \int_{0}^{1} x^{10} dx = 2 \cdot \left[ \frac{x^{11}}{11} \right]_{0}^{1} = 2 \cdot \left( \frac{1^{11}}{11} - \frac{0^{11}}{11} \right) = 2 \cdot \left( \frac{1}{11} - 0 \right) = \frac{2}{11}$

Оба метода дают одинаковый результат. Сравнивая его с предложенными вариантами, мы видим, что правильный ответ — B).

Ответ: $\frac{2}{11}$.