Номер 3, страница 36 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

3. Найдите первообразную функции $y = 3x^2 - 1$, проходящую через точку $A(0; 0)$:

A) $x^3 - x + 1$;

B) $x^3 - x$;

C) $x^3 - x - 1$;

D) $x^3 + x + 1$.

Чтобы найти первообразную функции $y = 3x^2 - 1$, которая проходит через заданную точку, необходимо выполнить два основных шага: сначала найти общий вид всех первообразных для данной функции, а затем, используя условие прохождения через точку $A(0; 0)$, найти конкретное значение константы интегрирования.

1. Нахождение общего вида первообразной.

Общий вид первообразной $F(x)$ для функции $f(x)$ находится путем вычисления неопределенного интеграла от этой функции.

$F(x) = \int f(x) dx = \int (3x^2 - 1) dx$

Используя свойство линейности интеграла, можем разбить его на два интеграла:

$F(x) = \int 3x^2 dx - \int 1 dx$

Теперь вычислим каждый интеграл по отдельности, используя табличные значения. Для степенной функции формула первообразной имеет вид $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}$.

$F(x) = 3 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} - 1 \cdot x + C = 3 \cdot \frac{x^3}{3} - x + C$

После упрощения получаем общий вид первообразной:

$F(x) = x^3 - x + C$

где $C$ – произвольная постоянная (константа интегрирования).

2. Определение константы $C$.

По условию задачи, график искомой первообразной проходит через точку $A$ с координатами $(0; 0)$. Это означает, что при подстановке $x=0$ в уравнение первообразной, значение функции $F(x)$ должно быть равно $0$.

Подставим значения $x=0$ и $F(0)=0$ в полученное уравнение:

$0 = (0)^3 - 0 + C$

$0 = 0 - 0 + C$

Отсюда находим, что $C = 0$.

3. Запись итоговой первообразной.

Подставив найденное значение $C=0$ в общий вид первообразной, получаем конкретную первообразную, удовлетворяющую условию задачи:

$F(x) = x^3 - x + 0 = x^3 - x$

Среди предложенных вариантов ответа этот результат соответствует варианту B).

Ответ: B) $x^3 - x$