Номер 4.11, страница 35 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

4.11. 1) $y = x^2 - 8x + 12$, $y = -x^2 + 8x - 18$;

2) $y = x^2 + 6x + 5$, $y = x^2 - 6x - 11$;

3) $y = x^2 - 4x - 1$, $y = -x^2 - 4x + 7$;

4) $y = x^2 + 3x - 5$, $y = -x^2 + 3x - 3.

1) Чтобы найти точки пересечения графиков функций $y = x^2 - 8x + 12$ и $y = -x^2 + 8x - 18$, нужно решить систему этих уравнений. Для этого приравняем правые части уравнений:

$x^2 - 8x + 12 = -x^2 + 8x - 18$

Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные слагаемые:

$x^2 - 8x + 12 + x^2 - 8x + 18 = 0$

$2x^2 - 16x + 30 = 0$

Разделим обе части уравнения на 2, чтобы упростить его:

$x^2 - 8x + 15 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета. Сумма корней равна 8, а произведение равно 15. Корни уравнения: $x_1 = 3$ и $x_2 = 5$.

Теперь найдем соответствующие значения $y$, подставив найденные значения $x$ в любое из исходных уравнений. Воспользуемся первым уравнением $y = x^2 - 8x + 12$.

При $x_1 = 3$:

$y_1 = 3^2 - 8(3) + 12 = 9 - 24 + 12 = -3$

При $x_2 = 5$:

$y_2 = 5^2 - 8(5) + 12 = 25 - 40 + 12 = -3$

Таким образом, точки пересечения графиков имеют координаты $(3; -3)$ и $(5; -3)$.

Ответ: $(3; -3)$, $(5; -3)$.

2) Найдем точки пересечения графиков функций $y = x^2 + 6x + 5$ и $y = x^2 - 6x - 11$. Приравняем правые части уравнений:

$x^2 + 6x + 5 = x^2 - 6x - 11$

Перенесем члены с $x$ в левую часть, а постоянные члены — в правую. Члены с $x^2$ взаимно уничтожаются:

$6x + 6x = -11 - 5$

$12x = -16$

Решим линейное уравнение относительно $x$:

$x = -16/12 = -4/3$

Теперь найдем соответствующее значение $y$, подставив $x = -4/3$ в первое уравнение $y = x^2 + 6x + 5$:

$y = (-4/3)^2 + 6(-4/3) + 5 = 16/9 - 24/3 + 5 = 16/9 - 72/9 + 45/9 = (16 - 72 + 45)/9 = -11/9$

Таким образом, графики пересекаются в одной точке с координатами $(-4/3; -11/9)$.

Ответ: $(-4/3; -11/9)$.

3) Найдем точки пересечения графиков функций $y = x^2 - 4x - 1$ и $y = -x^2 - 4x + 7$. Приравняем правые части уравнений:

$x^2 - 4x - 1 = -x^2 - 4x + 7$

Перенесем все члены в левую часть. Члены с $-4x$ взаимно уничтожаются:

$x^2 - 4x - 1 + x^2 + 4x - 7 = 0$

$2x^2 - 8 = 0$

Решим полученное неполное квадратное уравнение:

$2x^2 = 8$

$x^2 = 4$

Отсюда находим два корня: $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.

Найдем соответствующие значения $y$, подставив значения $x$ в уравнение $y = x^2 - 4x - 1$.

При $x_1 = 2$:

$y_1 = 2^2 - 4(2) - 1 = 4 - 8 - 1 = -5$

При $x_2 = -2$:

$y_2 = (-2)^2 - 4(-2) - 1 = 4 + 8 - 1 = 11$

Таким образом, точки пересечения графиков имеют координаты $(2; -5)$ и $(-2; 11)$.

Ответ: $(2; -5)$, $(-2; 11)$.

4) Найдем точки пересечения графиков функций $y = x^2 + 3x - 5$ и $y = -x^2 + 3x - 3$. Приравняем правые части уравнений:

$x^2 + 3x - 5 = -x^2 + 3x - 3$

Перенесем все члены в левую часть. Члены с $3x$ взаимно уничтожаются:

$x^2 + 3x - 5 + x^2 - 3x + 3 = 0$

$2x^2 - 2 = 0$

Решим полученное неполное квадратное уравнение:

$2x^2 = 2$

$x^2 = 1$

Отсюда находим два корня: $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.

Найдем соответствующие значения $y$, подставив значения $x$ в уравнение $y = x^2 + 3x - 5$.

При $x_1 = 1$:

$y_1 = 1^2 + 3(1) - 5 = 1 + 3 - 5 = -1$

При $x_2 = -1$:

$y_2 = (-1)^2 + 3(-1) - 5 = 1 - 3 - 5 = -7$

Таким образом, точки пересечения графиков имеют координаты $(1; -1)$ и $(-1; -7)$.

Ответ: $(1; -1)$, $(-1; -7)$.