Номер 4.4, страница 34 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

4.4. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции $y = f(x)$, заданной на отрезке $[a; b]$, и осью $Ox$:

1) $f(x) = \sin x$ и $[0; 2\pi];

2) $f(x) = \cos x$ и $[-\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}]$.

Площадь фигуры, ограниченной графиком функции $y = f(x)$ и осью $Ox$ на отрезке $[a; b]$, вычисляется по формуле определенного интеграла от модуля функции:

$S = \int_{a}^{b} |f(x)| \,dx$

Так как площадь является неотрицательной величиной, для участков, где график функции лежит ниже оси $Ox$ (то есть $f(x) < 0$), мы должны взять интеграл от $-f(x)$. Поэтому необходимо определить интервалы знакопостоянства функции на заданном отрезке и разбить интеграл на части.

1) $f(x) = \sin x$ и $[0; 2\pi]$

Для нахождения площади фигуры, ограниченной графиком функции $y = \sin x$ и осью $Ox$ на отрезке $[0; 2\pi]$, определим знаки функции на этом отрезке.

- На отрезке $[0; \pi]$ функция $\sin x \ge 0$.

- На отрезке $[\pi; 2\pi]$ функция $\sin x \le 0$.

Следовательно, площадь $S$ будет равна сумме двух интегралов:

$S = \int_{0}^{2\pi} |\sin x| \,dx = \int_{0}^{\pi} \sin x \,dx + \int_{\pi}^{2\pi} (-\sin x) \,dx$

Вычислим каждый интеграл. Первообразной для функции $\sin x$ является $-\cos x$.

Первый интеграл:

$\int_{0}^{\pi} \sin x \,dx = [-\cos x]_{0}^{\pi} = (-\cos \pi) - (-\cos 0) = (-(-1)) - (-1) = 1 + 1 = 2$.

Второй интеграл:

$\int_{\pi}^{2\pi} (-\sin x) \,dx = [\cos x]_{\pi}^{2\pi} = \cos(2\pi) - \cos(\pi) = 1 - (-1) = 2$.

Общая площадь равна сумме площадей двух частей:

$S = 2 + 2 = 4$.

Ответ: 4.

2) $f(x) = \cos x$ и $[-\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}]$

Для нахождения площади фигуры, ограниченной графиком функции $y = \cos x$ и осью $Ox$ на отрезке $[-\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}]$, определим знаки функции на этом отрезке.

- На отрезке $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$ функция $\cos x \ge 0$.

- На отрезке $[\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}]$ функция $\cos x \le 0$.

Следовательно, площадь $S$ будет равна сумме двух интегралов:

$S = \int_{-\pi/2}^{3\pi/2} |\cos x| \,dx = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos x \,dx + \int_{\pi/2}^{3\pi/2} (-\cos x) \,dx$

Вычислим каждый интеграл. Первообразной для функции $\cos x$ является $\sin x$.

Первый интеграл:

$\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos x \,dx = [\sin x]_{-\pi/2}^{\pi/2} = \sin(\frac{\pi}{2}) - \sin(-\frac{\pi}{2}) = 1 - (-1) = 2$.

Второй интеграл:

$\int_{\pi/2}^{3\pi/2} (-\cos x) \,dx = [-\sin x]_{\pi/2}^{3\pi/2} = (-\sin(\frac{3\pi}{2})) - (-\sin(\frac{\pi}{2})) = (-(-1)) - (-1) = 1 + 1 = 2$.

Общая площадь равна сумме площадей двух частей:

$S = 2 + 2 = 4$.

Ответ: 4.