Номер 4.3, страница 34 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

4.3. Вычислите площади плоских фигур, изображенных на рисунке 20.

Рис. 20

1) Фигура ограничена параболой $y = x^2 + 4x + 4$ и прямой $y = 1$.

Сначала найдем пределы интегрирования, для чего приравняем уравнения кривых:

$x^2 + 4x + 4 = 1$

$x^2 + 4x + 3 = 0$

Корни этого квадратного уравнения, которые можно найти по теореме Виета или через дискриминант, равны $x_1 = -3$ и $x_2 = -1$.

В интервале $[-3, -1]$ прямая $y=1$ находится выше параболы $y = x^2 + 4x + 4$ (например, в точке $x=-2$, $y_{параболы}=0 < y_{прямой}=1$). Площадь фигуры $S$ вычисляется как интеграл разности функций верхней и нижней границ:

$S = \int_{-3}^{-1} (1 - (x^2 + 4x + 4)) dx = \int_{-3}^{-1} (-x^2 - 4x - 3) dx$

Вычислим определенный интеграл, найдя первообразную:

$S = [-\frac{x^3}{3} - \frac{4x^2}{2} - 3x]_{-3}^{-1} = [-\frac{x^3}{3} - 2x^2 - 3x]_{-3}^{-1}$

Подставим пределы интегрирования по формуле Ньютона-Лейбница:

$S = (-\frac{(-1)^3}{3} - 2(-1)^2 - 3(-1)) - (-\frac{(-3)^3}{3} - 2(-3)^2 - 3(-3))$

$S = (\frac{1}{3} - 2 + 3) - (\frac{27}{3} - 18 + 9) = (\frac{1}{3} + 1) - (9 - 18 + 9) = \frac{4}{3} - 0 = \frac{4}{3}$

Ответ: $\frac{4}{3}$.

2) Фигура ограничена сверху прямой $y=2$, слева прямой $x=-1$, справа прямой $x=1$ и снизу кривой. Формула кривой на рисунке неразборчива, но по графику, проходящему через точки $(-1, 0)$ и $(1, 0)$ и имеющему вершину в точке $(0, 1)$, можно сделать вывод, что это парабола $y = 1 - x^2$.

Площадь фигуры находится как интеграл разности между верхней границей $y=2$ и нижней границей $y=1-x^2$ в пределах от $x=-1$ до $x=1$.

$S = \int_{-1}^{1} (2 - (1 - x^2)) dx = \int_{-1}^{1} (1 + x^2) dx$

Поскольку подынтегральная функция $f(x) = 1 + x^2$ является четной (т.е. $f(-x)=f(x)$), а пределы интегрирования симметричны относительно нуля, можно упростить вычисление:

$S = 2 \int_{0}^{1} (1 + x^2) dx = 2 [x + \frac{x^3}{3}]_{0}^{1} = 2 ((1 + \frac{1^3}{3}) - (0 + \frac{0^3}{3})) = 2 (1 + \frac{1}{3}) = 2 \cdot \frac{4}{3} = \frac{8}{3}$

Ответ: $\frac{8}{3}$.

3) Фигура ограничена параболой $y = 4 - x^2$ и прямой $y = x + 2$.

Найдем точки пересечения графиков, решив уравнение $4 - x^2 = x + 2$:

$x^2 + x - 2 = 0$

Корни этого уравнения: $x_1 = -2$ и $x_2 = 1$. Это и будут пределы интегрирования.

В интервале $[-2, 1]$ парабола $y = 4 - x^2$ находится выше прямой $y = x + 2$ (проверим в точке $x=0$: $y_{параболы}=4 > y_{прямой}=2$). Площадь фигуры $S$ равна:

$S = \int_{-2}^{1} ((4 - x^2) - (x + 2)) dx = \int_{-2}^{1} (-x^2 - x + 2) dx$

Вычислим интеграл:

$S = [-\frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + 2x]_{-2}^{1} = (-\frac{1^3}{3} - \frac{1^2}{2} + 2 \cdot 1) - (-\frac{(-2)^3}{3} - \frac{(-2)^2}{2} + 2(-2))$

$S = (-\frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 2) - (\frac{8}{3} - 2 - 4) = (\frac{-2-3+12}{6}) - (\frac{8-18}{3}) = \frac{7}{6} - (-\frac{10}{3}) = \frac{7}{6} + \frac{20}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2}$

Ответ: $\frac{9}{2}$.

4) Фигура ограничена двумя параболами: $y = x^2$ и $y = 1 + 2x - x^2$.

Найдем пределы интегрирования, приравняв правые части уравнений:

$x^2 = 1 + 2x - x^2$

$2x^2 - 2x - 1 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью формулы для корней:

$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 4 + 8 = 12$

$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}}{4} = \frac{1 \pm \sqrt{3}}{2}$

Пределы интегрирования: $x_1 = \frac{1 - \sqrt{3}}{2}$ и $x_2 = \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$.

В интервале $(x_1, x_2)$ парабола $y = 1 + 2x - x^2$ (ветви вниз) лежит выше параболы $y = x^2$ (ветви вверх). Площадь фигуры $S$ вычисляется по формуле:

$S = \int_{\frac{1 - \sqrt{3}}{2}}^{\frac{1 + \sqrt{3}}{2}} ((1 + 2x - x^2) - x^2) dx = \int_{\frac{1 - \sqrt{3}}{2}}^{\frac{1 + \sqrt{3}}{2}} (-2x^2 + 2x + 1) dx$

Вычислим интеграл:

$S = [-\frac{2x^3}{3} + x^2 + x]_{\frac{1 - \sqrt{3}}{2}}^{\frac{1 + \sqrt{3}}{2}}$

Подстановка пределов приведет к громоздким вычислениям, поэтому воспользуемся алгебраическими упрощениями. Пусть $x_2 = \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$ и $x_1 = \frac{1 - \sqrt{3}}{2}$. Тогда $x_2 - x_1 = \sqrt{3}$, $x_2 + x_1 = 1$, $x_1x_2 = -1/2$.

Значение интеграла равно $F(x_2) - F(x_1)$, где $F(x)$ - первообразная.

$F(x_2) - F(x_1) = (-\frac{2}{3}(x_2^3 - x_1^3) + (x_2^2 - x_1^2) + (x_2 - x_1))$

Используем тождества: $x_2^2 - x_1^2 = (x_2-x_1)(x_2+x_1) = \sqrt{3} \cdot 1 = \sqrt{3}$

$x_2^3 - x_1^3 = (x_2-x_1)(x_2^2+x_1x_2+x_1^2) = (x_2-x_1)((x_1+x_2)^2-x_1x_2) = \sqrt{3}(1^2 - (-\frac{1}{2})) = \frac{3\sqrt{3}}{2}$

Подставляем найденные значения:

$S = -\frac{2}{3} \cdot \frac{3\sqrt{3}}{2} + \sqrt{3} + \sqrt{3} = -\sqrt{3} + 2\sqrt{3} = \sqrt{3}$

Ответ: $\sqrt{3}$.