Номер 4.8, страница 35 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

4.8. Найдите площадь плоской фигуры, ограниченной линиями:

1) $y = \cos x, y = \sin x, x = \frac{\pi}{4}, x = \frac{\pi}{2};$

2) $y = 2\cos x, y = 2\sin x, x = 0, x = \frac{\pi}{4};$

3) $y = x, y = \frac{1}{x^2}, x = 2;$

4) $y = \frac{2}{x^2}, y = 2x, x = \frac{1}{2}.$

1) Для нахождения площади фигуры, ограниченной линиями $y = \cos x$, $y = \sin x$, $x = \frac{\pi}{4}$ и $x = \frac{\pi}{2}$, необходимо вычислить определенный интеграл. Площадь $S$ фигуры, ограниченной кривыми $y = f_1(x)$ и $y = f_2(x)$ на отрезке $[a, b]$, где $f_2(x) \ge f_1(x)$, вычисляется по формуле:

$S = \int_{a}^{b} (f_2(x) - f_1(x)) \,dx$.

На интервале $[\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}]$ выполняется неравенство $\sin x \ge \cos x$. Например, при $x = \frac{\pi}{3}$, $\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, а $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$. Точка пересечения графиков $x = \frac{\pi}{4}$.

Следовательно, искомая площадь равна:

$S = \int_{\pi/4}^{\pi/2} (\sin x - \cos x) \,dx$.

Найдем первообразную для подынтегральной функции:

$\int (\sin x - \cos x) \,dx = -\cos x - \sin x$.

Теперь вычислим определенный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:

$S = [-\cos x - \sin x]_{\pi/4}^{\pi/2} = (-\cos(\frac{\pi}{2}) - \sin(\frac{\pi}{2})) - (-\cos(\frac{\pi}{4}) - \sin(\frac{\pi}{4})) = (0 - 1) - (-\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}) = -1 - (-\sqrt{2}) = \sqrt{2} - 1$.

Ответ: $\sqrt{2}-1$.

2) Фигура ограничена линиями $y = 2\cos x$, $y = 2\sin x$, $x = 0$ и $x = \frac{\pi}{4}$.

На интервале $[0, \frac{\pi}{4}]$ выполняется неравенство $\cos x \ge \sin x$, следовательно, $2\cos x \ge 2\sin x$. Например, при $x = 0$, $2\cos(0) = 2$, а $2\sin(0) = 0$.

Площадь вычисляется по формуле:

$S = \int_{0}^{\pi/4} (2\cos x - 2\sin x) \,dx = 2 \int_{0}^{\pi/4} (\cos x - \sin x) \,dx$.

Найдем первообразную:

$\int (\cos x - \sin x) \,dx = \sin x - (-\cos x) = \sin x + \cos x$.

Вычислим интеграл:

$S = 2 [\sin x + \cos x]_{0}^{\pi/4} = 2 ((\sin(\frac{\pi}{4}) + \cos(\frac{\pi}{4})) - (\sin(0) + \cos(0))) = 2 ((\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}) - (0 + 1)) = 2 (\sqrt{2} - 1)$.

Ответ: $2(\sqrt{2}-1)$.

3) Фигура ограничена линиями $y = x$, $y = \frac{1}{x^2}$ и $x = 2$.

Сначала найдем точку пересечения графиков $y=x$ и $y=\frac{1}{x^2}$ для определения пределов интегрирования:

$x = \frac{1}{x^2} \implies x^3 = 1 \implies x = 1$.

Таким образом, фигура ограничена слева прямой $x=1$, а справа прямой $x=2$.

На интервале $[1, 2]$ выполняется неравенство $x \ge \frac{1}{x^2}$. Например, при $x=2$, $y=2$ и $y=\frac{1}{4}$.

Площадь вычисляется по формуле:

$S = \int_{1}^{2} (x - \frac{1}{x^2}) \,dx = \int_{1}^{2} (x - x^{-2}) \,dx$.

Найдем первообразную:

$\int (x - x^{-2}) \,dx = \frac{x^2}{2} - \frac{x^{-1}}{-1} = \frac{x^2}{2} + \frac{1}{x}$.

Вычислим интеграл:

$S = [\frac{x^2}{2} + \frac{1}{x}]_{1}^{2} = (\frac{2^2}{2} + \frac{1}{2}) - (\frac{1^2}{2} + \frac{1}{1}) = (\frac{4}{2} + \frac{1}{2}) - (\frac{1}{2} + 1) = \frac{5}{2} - \frac{3}{2} = \frac{2}{2} = 1$.

Ответ: 1.

4) Фигура ограничена линиями $y = \frac{2}{x^2}$, $y = 2x$ и $x = \frac{1}{2}$.

Найдем точку пересечения графиков $y=2x$ и $y=\frac{2}{x^2}$:

$2x = \frac{2}{x^2} \implies x^3 = 1 \implies x = 1$.

Фигура ограничена прямыми $x=\frac{1}{2}$ и $x=1$.

На интервале $[\frac{1}{2}, 1]$ выполняется неравенство $\frac{2}{x^2} \ge 2x$. Например, при $x=\frac{1}{2}$, $y=\frac{2}{(1/2)^2} = 8$, а $y=2(\frac{1}{2}) = 1$.

Площадь вычисляется по формуле:

$S = \int_{1/2}^{1} (\frac{2}{x^2} - 2x) \,dx = \int_{1/2}^{1} (2x^{-2} - 2x) \,dx$.

Найдем первообразную:

$\int (2x^{-2} - 2x) \,dx = 2\frac{x^{-1}}{-1} - 2\frac{x^2}{2} = -\frac{2}{x} - x^2$.

Вычислим интеграл:

$S = [-\frac{2}{x} - x^2]_{1/2}^{1} = (-\frac{2}{1} - 1^2) - (-\frac{2}{1/2} - (\frac{1}{2})^2) = (-2 - 1) - (-4 - \frac{1}{4}) = -3 - (-\frac{17}{4}) = -3 + \frac{17}{4} = \frac{-12+17}{4} = \frac{5}{4}$.

Ответ: $\frac{5}{4}$.