Номер 4.9, страница 35 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

4.9. Вычислите площадь плоской фигуры, ограниченной:

1) графиком функции $y = 2x^3$, касательной к этому графику в точке $(-1; -2)$ и прямой $x=1$;

2) прямой $y = 0$, параболой $y = 2x - x^2$ и касательной, проведенной к этой параболе в точке $(\frac{1}{2}; \frac{3}{4})$.

1)

Вычислим площадь фигуры, ограниченной графиком функции $y = 2x^3$, касательной к этому графику в точке $(-1; -2)$ и прямой $x=1$.

Сначала найдем уравнение касательной к графику функции $f(x) = 2x^3$ в точке $x_0 = -1$.

Уравнение касательной имеет вид $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

Найдем производную функции:

$f'(x) = (2x^3)' = 6x^2$.

Вычислим значения функции и ее производной в точке касания $x_0 = -1$:

$f(-1) = 2(-1)^3 = -2$.

$f'(-1) = 6(-1)^2 = 6$.

Подставим эти значения в уравнение касательной:

$y = -2 + 6(x - (-1))$

$y = -2 + 6(x + 1)$

$y = 6x + 4$.

Таким образом, фигура ограничена линиями $y = 2x^3$, $y = 6x + 4$ и $x=1$. Точка касания находится при $x=-1$, поэтому пределы интегрирования будут от $-1$ до $1$.

Площадь фигуры вычисляется как интеграл от разности верхней и нижней функций. Определим, какая из функций, $y_1 = 2x^3$ или $y_2 = 6x + 4$, является верхней на интервале $[-1, 1]$.

Рассмотрим разность $g(x) = y_2 - y_1 = (6x + 4) - 2x^3 = -2x^3 + 6x + 4$.

Вторая производная функции $f(x) = 2x^3$ равна $f''(x) = 12x$. В точке $x_0=-1$ имеем $f''(-1)=-12<0$, что означает, что функция является вогнутой (выпуклой вверх), и ее график лежит ниже касательной в окрестности точки касания. Следовательно, на интервале $[-1, 1]$ касательная $y=6x+4$ является верхней границей, а кривая $y=2x^3$ - нижней.

Площадь $S$ равна:

$S = \int_{-1}^{1} ((6x + 4) - 2x^3) dx = \int_{-1}^{1} (-2x^3 + 6x + 4) dx$.

Вычислим интеграл:

$S = \left[ -2\frac{x^4}{4} + 6\frac{x^2}{2} + 4x \right]_{-1}^{1} = \left[ -\frac{1}{2}x^4 + 3x^2 + 4x \right]_{-1}^{1}$.

$S = \left(-\frac{1}{2}(1)^4 + 3(1)^2 + 4(1)\right) - \left(-\frac{1}{2}(-1)^4 + 3(-1)^2 + 4(-1)\right)$

$S = \left(-\frac{1}{2} + 3 + 4\right) - \left(-\frac{1}{2} + 3 - 4\right)$

$S = \left(7 - \frac{1}{2}\right) - \left(-1 - \frac{1}{2}\right) = \frac{13}{2} - \left(-\frac{3}{2}\right) = \frac{13+3}{2} = \frac{16}{2} = 8$.

Ответ: $8$.

2)

Вычислим площадь фигуры, ограниченной прямой $y=0$, параболой $y=2x-x^2$ и касательной, проведенной к этой параболе в точке $(\frac{1}{2}; \frac{3}{4})$.

Сначала найдем уравнение касательной к параболе $f(x) = 2x - x^2$ в точке $x_0 = \frac{1}{2}$.

Уравнение касательной: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

Производная функции: $f'(x) = (2x - x^2)' = 2 - 2x$.

Значения функции и производной в точке касания $x_0 = \frac{1}{2}$:

$f(\frac{1}{2}) = 2(\frac{1}{2}) - (\frac{1}{2})^2 = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.

$f'(\frac{1}{2}) = 2 - 2(\frac{1}{2}) = 2 - 1 = 1$.

Уравнение касательной:

$y = \frac{3}{4} + 1(x - \frac{1}{2}) = x + \frac{3}{4} - \frac{1}{2} = x + \frac{1}{4}$.

Итак, фигура ограничена тремя линиями: параболой $y_p = 2x-x^2$, касательной $y_t = x + \frac{1}{4}$ и осью абсцисс $y_0 = 0$.

Найдем точки пересечения этих линий, чтобы определить границы искомой фигуры.

1. Пересечение касательной и оси Ox: $x + \frac{1}{4} = 0 \Rightarrow x = -\frac{1}{4}$. Точка A$(-\frac{1}{4}, 0)$.

2. Пересечение параболы и оси Ox: $2x-x^2 = 0 \Rightarrow x(2-x)=0 \Rightarrow x=0, x=2$. Точка B$(0, 0)$.

3. Пересечение касательной и параболы: $x + \frac{1}{4} = 2x-x^2 \Rightarrow x^2-x+\frac{1}{4}=0 \Rightarrow (x-\frac{1}{2})^2=0 \Rightarrow x=\frac{1}{2}$. Точка касания C$(\frac{1}{2}, \frac{3}{4})$.

Фигура представляет собой замкнутую область, ограниченную отрезком оси Ox от точки A до B, дугой параболы от B до C и отрезком касательной от C до A. Площадь этой фигуры можно найти, разбив ее на две части по оси Oy ($x=0$).

Первая часть ($S_1$) - это область в интервале $x \in [-\frac{1}{4}, 0]$, ограниченная сверху касательной $y = x + \frac{1}{4}$ и снизу осью Ox $y=0$.

$S_1 = \int_{-1/4}^{0} \left(x + \frac{1}{4}\right) dx = \left[\frac{x^2}{2} + \frac{x}{4}\right]_{-1/4}^{0} = 0 - \left(\frac{(-1/4)^2}{2} + \frac{-1/4}{4}\right) = -\left(\frac{1}{32} - \frac{2}{32}\right) = -\left(-\frac{1}{32}\right) = \frac{1}{32}$.

Вторая часть ($S_2$) - это область в интервале $x \in [0, \frac{1}{2}]$, ограниченная сверху касательной $y = x + \frac{1}{4}$ и снизу параболой $y = 2x-x^2$.

$S_2 = \int_{0}^{1/2} \left(\left(x + \frac{1}{4}\right) - (2x-x^2)\right) dx = \int_{0}^{1/2} (x^2 - x + \frac{1}{4}) dx$.

$S_2 = \left[\frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + \frac{x}{4}\right]_{0}^{1/2} = \left(\frac{(1/2)^3}{3} - \frac{(1/2)^2}{2} + \frac{1/2}{4}\right) - 0 = \frac{1/8}{3} - \frac{1/4}{2} + \frac{1}{8} = \frac{1}{24} - \frac{1}{8} + \frac{1}{8} = \frac{1}{24}$.

Общая площадь $S$ равна сумме площадей $S_1$ и $S_2$.

$S = S_1 + S_2 = \frac{1}{32} + \frac{1}{24} = \frac{3}{96} + \frac{4}{96} = \frac{7}{96}$.

Ответ: $\frac{7}{96}$.