Номер 4.10, страница 35 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Найдите площадь плоской фигуры, ограниченной линиями

(4.10–4.11):

4.10. 1) $y = x^2 + 1$, $y = x + 3$;

2) $y = x^2 + 2x + 4$, $y = x + 6$;

3) $y = -x^2 + 3$, $y = 2x - 6$;

4) $y = 4 - x^2$, $y = 1 - 2x$.

1) Для нахождения площади фигуры, ограниченной линиями $y = x^2 + 1$ и $y = x + 3$, сначала найдем точки их пересечения, приравняв выражения для $y$:

$x^2 + 1 = x + 3$

$x^2 - x - 2 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Корни можно найти по теореме Виета или через дискриминант.

$(x - 2)(x + 1) = 0$

Отсюда получаем абсциссы точек пересечения: $x_1 = -1$ и $x_2 = 2$. Это будут наши пределы интегрирования.

Теперь определим, какая из функций больше на интервале $(-1, 2)$. Возьмем любую точку из этого интервала, например $x = 0$:

Для первой функции: $y(0) = 0^2 + 1 = 1$

Для второй функции: $y(0) = 0 + 3 = 3$

Поскольку $3 > 1$, на интервале $(-1, 2)$ график прямой $y = x + 3$ лежит выше графика параболы $y = x^2 + 1$.

Площадь фигуры вычисляется как определенный интеграл от разности верхней и нижней функций:

$S = \int_{-1}^{2} ((x + 3) - (x^2 + 1)) \,dx = \int_{-1}^{2} (-x^2 + x + 2) \,dx$

Вычислим интеграл:

$\int (-x^2 + x + 2) \,dx = -\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + 2x$

$S = \left(-\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + 2x\right) \bigg|_{-1}^{2} = \left(-\frac{2^3}{3} + \frac{2^2}{2} + 2 \cdot 2\right) - \left(-\frac{(-1)^3}{3} + \frac{(-1)^2}{2} + 2 \cdot (-1)\right)$

$S = \left(-\frac{8}{3} + 2 + 4\right) - \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{2} - 2\right) = \left(6 - \frac{8}{3}\right) - \left(\frac{2+3-12}{6}\right) = \frac{18-8}{3} - \left(-\frac{7}{6}\right)$

$S = \frac{10}{3} + \frac{7}{6} = \frac{20}{6} + \frac{7}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2} = 4.5$

Ответ: 4.5

2) Найдем площадь фигуры, ограниченной линиями $y = x^2 + 2x + 4$ и $y = x + 6$.

Найдем точки пересечения:

$x^2 + 2x + 4 = x + 6$

$x^2 + x - 2 = 0$

$(x + 2)(x - 1) = 0$

Абсциссы точек пересечения: $x_1 = -2$ и $x_2 = 1$.

Определим, какая функция больше на интервале $(-2, 1)$. Возьмем $x = 0$:

Для первой функции: $y(0) = 0^2 + 2 \cdot 0 + 4 = 4$

Для второй функции: $y(0) = 0 + 6 = 6$

Поскольку $6 > 4$, график прямой $y = x + 6$ лежит выше графика параболы $y = x^2 + 2x + 4$.

Площадь фигуры:

$S = \int_{-2}^{1} ((x + 6) - (x^2 + 2x + 4)) \,dx = \int_{-2}^{1} (-x^2 - x + 2) \,dx$

Вычислим интеграл:

$S = \left(-\frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + 2x\right) \bigg|_{-2}^{1} = \left(-\frac{1^3}{3} - \frac{1^2}{2} + 2 \cdot 1\right) - \left(-\frac{(-2)^3}{3} - \frac{(-2)^2}{2} + 2 \cdot (-2)\right)$

$S = \left(-\frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 2\right) - \left(\frac{8}{3} - 2 - 4\right) = \left(\frac{-2-3+12}{6}\right) - \left(\frac{8}{3} - 6\right) = \frac{7}{6} - \left(\frac{8-18}{3}\right)$

$S = \frac{7}{6} - \left(-\frac{10}{3}\right) = \frac{7}{6} + \frac{20}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2} = 4.5$

Ответ: 4.5

3) Найдем площадь фигуры, ограниченной линиями $y = -x^2 + 3$ и $y = 2x - 6$.

Найдем точки пересечения:

$-x^2 + 3 = 2x - 6$

$x^2 + 2x - 9 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 4 + 36 = 40$.

Корни: $x_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{40}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{10}}{2} = -1 \pm \sqrt{10}$.

Пределы интегрирования: $a = -1 - \sqrt{10}$ и $b = -1 + \sqrt{10}$.

Определим, какая функция больше на интервале $(-1 - \sqrt{10}, -1 + \sqrt{10})$. Возьмем $x = 0$:

Для первой функции: $y(0) = -0^2 + 3 = 3$

Для второй функции: $y(0) = 2 \cdot 0 - 6 = -6$

Поскольку $3 > -6$, график параболы $y = -x^2 + 3$ лежит выше графика прямой $y = 2x - 6$.

Площадь фигуры:

$S = \int_{-1-\sqrt{10}}^{-1+\sqrt{10}} ((-x^2 + 3) - (2x - 6)) \,dx = \int_{-1-\sqrt{10}}^{-1+\sqrt{10}} (-x^2 - 2x + 9) \,dx$

Вычислим интеграл:

$S = \left(-\frac{x^3}{3} - x^2 + 9x\right) \bigg|_{-1-\sqrt{10}}^{-1+\sqrt{10}}$

Пусть $a = -1-\sqrt{10}$ и $b = -1+\sqrt{10}$. Вычисление будет $F(b) - F(a)$.

$b-a = (-1+\sqrt{10}) - (-1-\sqrt{10}) = 2\sqrt{10}$

$b+a = (-1+\sqrt{10}) + (-1-\sqrt{10}) = -2$

$ab = (-1)^2 - (\sqrt{10})^2 = 1 - 10 = -9$

$S = -\frac{1}{3}(b^3-a^3) - (b^2-a^2) + 9(b-a)$

$b^2-a^2 = (b-a)(b+a) = (2\sqrt{10})(-2) = -4\sqrt{10}$

$b^3-a^3 = (b-a)(b^2+ab+a^2) = (b-a)((a+b)^2-ab) = 2\sqrt{10}((-2)^2 - (-9)) = 2\sqrt{10}(4+9) = 26\sqrt{10}$

$S = -\frac{1}{3}(26\sqrt{10}) - (-4\sqrt{10}) + 9(2\sqrt{10}) = -\frac{26\sqrt{10}}{3} + 4\sqrt{10} + 18\sqrt{10}$

$S = -\frac{26\sqrt{10}}{3} + 22\sqrt{10} = \sqrt{10}\left(22 - \frac{26}{3}\right) = \sqrt{10}\left(\frac{66-26}{3}\right) = \frac{40\sqrt{10}}{3}$

Ответ: $\frac{40\sqrt{10}}{3}$

4) Найдем площадь фигуры, ограниченной линиями $y = 4 - x^2$ и $y = 1 - 2x$.

Найдем точки пересечения:

$4 - x^2 = 1 - 2x$

$x^2 - 2x - 3 = 0$

$(x - 3)(x + 1) = 0$

Абсциссы точек пересечения: $x_1 = -1$ и $x_2 = 3$.

Определим, какая функция больше на интервале $(-1, 3)$. Возьмем $x = 0$:

Для первой функции: $y(0) = 4 - 0^2 = 4$

Для второй функции: $y(0) = 1 - 2 \cdot 0 = 1$

Поскольку $4 > 1$, график параболы $y = 4 - x^2$ лежит выше графика прямой $y = 1 - 2x$.

Площадь фигуры:

$S = \int_{-1}^{3} ((4 - x^2) - (1 - 2x)) \,dx = \int_{-1}^{3} (-x^2 + 2x + 3) \,dx$

Вычислим интеграл:

$S = \left(-\frac{x^3}{3} + x^2 + 3x\right) \bigg|_{-1}^{3} = \left(-\frac{3^3}{3} + 3^2 + 3 \cdot 3\right) - \left(-\frac{(-1)^3}{3} + (-1)^2 + 3 \cdot (-1)\right)$

$S = \left(-9 + 9 + 9\right) - \left(\frac{1}{3} + 1 - 3\right) = 9 - \left(\frac{1}{3} - 2\right) = 9 - \left(\frac{1-6}{3}\right)$

$S = 9 - \left(-\frac{5}{3}\right) = 9 + \frac{5}{3} = \frac{27+5}{3} = \frac{32}{3}$

Ответ: $\frac{32}{3}$