Номер 4, страница 36 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

4. На каком промежутке функция $F(x) = \frac{2x^3}{9} + \frac{3}{2x}$ является перво-образной для функции $f(x) = \frac{2}{3}x^2 - \frac{3}{2x^2}$:

A) $(-\infty; +\infty);$

B) $(0; +\infty);$

C) $(-\infty; 1);$

D) $(-1; +\infty)?$

По определению, функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$ на некотором промежутке, если для всех $x$ из этого промежутка выполняется равенство $F'(x) = f(x)$.

Сначала найдем производную функции $F(x) = \frac{2x^3}{9} + \frac{3}{2x}$.

Чтобы упростить дифференцирование, представим функцию в виде суммы степенных функций: $F(x) = \frac{2}{9}x^3 + \frac{3}{2}x^{-1}$.

Теперь вычислим производную, используя правило дифференцирования суммы и степенной функции $(x^n)'=nx^{n-1}$:

$F'(x) = (\frac{2}{9}x^3 + \frac{3}{2}x^{-1})' = (\frac{2}{9}x^3)' + (\frac{3}{2}x^{-1})' = \frac{2}{9} \cdot 3x^{3-1} + \frac{3}{2} \cdot (-1)x^{-1-1} = \frac{6}{9}x^2 - \frac{3}{2}x^{-2} = \frac{2}{3}x^2 - \frac{3}{2x^2}$.

Сравним полученное выражение с данной функцией $f(x) = \frac{2}{3}x^2 - \frac{3}{2x^2}$. Мы видим, что $F'(x) = f(x)$.

Далее, необходимо определить промежуток, на котором это равенство выполняется. Определение первообразной предполагает, что она задана на непрерывном промежутке (интервале).

Функция $F(x) = \frac{2x^3}{9} + \frac{3}{2x}$ и функция $f(x) = \frac{2}{3}x^2 - \frac{3}{2x^2}$ не определены в точке $x=0$, так как в этой точке знаменатели дробей $\frac{3}{2x}$ и $\frac{3}{2x^2}$ обращаются в ноль.

Следовательно, равенство $F'(x) = f(x)$ выполняется на всей области определения функций, то есть при $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Теперь проанализируем предложенные варианты промежутков, чтобы выбрать тот, который является непрерывным и не содержит точку $x=0$.

A) $(-\infty; +\infty)$. Этот промежуток содержит точку $x=0$, в которой функции не определены, поэтому он не подходит.

B) $(0; +\infty)$. Этот промежуток является непрерывным и не содержит точку $x=0$. На всем этом промежутке равенство $F'(x) = f(x)$ выполняется. Следовательно, этот вариант является правильным.

C) $(-\infty; 1)$. Этот промежуток содержит точку $x=0$, поэтому он не подходит.

D) $(-1; +\infty)$. Этот промежуток также содержит точку $x=0$, поэтому он не подходит.

Таким образом, единственным верным промежутком из предложенных является $(0; +\infty)$.

Ответ: B) $(0; +\infty)$