Номер 9, страница 37 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

9. Площадь фигуры, изображенной на рисунке, вычисляется по фор-муле:

A) $S = \int_{a}^{b} f(x)dx;$

B) $S = 2 \int_{-3}^{0} f(x)dx;$

C) $S = \int_{3}^{-3} f(x)dx;$

D) $S = \int_{-3}^{3} f(x)dx.$

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной и неотрицательной функции $y=f(x)$, осью абсцисс $Ox$ и вертикальными прямыми $x=a$ и $x=b$, вычисляется с помощью определенного интеграла по формуле: $S = \int_{a}^{b} f(x) dx$.

На представленном рисунке заштрихованная фигура представляет собой криволинейную трапецию, которая ограничена сверху графиком функции $y=f(x)$, снизу — осью абсцисс ($y=0$), слева — вертикальной прямой $x=-3$, и справа — вертикальной прямой $x=3$.

Следовательно, нижним пределом интегрирования является $a=-3$, а верхним — $b=3$. Подставляя эти значения в общую формулу, получаем выражение для площади данной фигуры: $S = \int_{-3}^{3} f(x) dx$.

Теперь проанализируем предложенные варианты ответа:

A) $S = \int_{a}^{b} f(x)dx$. Это общая формула для площади криволинейной трапеции, но она не использует конкретные пределы интегрирования, указанные на графике.

B) $S = 2 \int_{-3}^{0} f(x)dx$. Эта формула была бы верна, если бы функция $f(x)$ была четной, т.е. $f(-x) = f(x)$, поскольку для четной функции $\int_{-c}^{c} f(x)dx = 2 \int_{0}^{c} f(x)dx$. Хотя график и выглядит симметричным относительно оси $Oy$, что указывает на четность функции, вариант D является прямым определением площади по заданным границам, которое верно независимо от свойства четности.

C) $S = \int_{3}^{-3} f(x)dx$. Здесь пределы интегрирования поменяны местами. По свойству определенного интеграла $\int_{b}^{a} f(x)dx = -\int_{a}^{b} f(x)dx$. Так как площадь является положительной величиной ($f(x) \ge 0$ на промежутке), этот интеграл дал бы отрицательное значение, что неверно.

D) $S = \int_{-3}^{3} f(x)dx$. Эта формула точно соответствует определению площади заштрихованной фигуры, где интегрирование ведется от левой границы $x=-3$ до правой границы $x=3$.

Таким образом, наиболее правильным и точным ответом является вариант D, так как он напрямую использует данные из графика для вычисления площади по определению.

Ответ: D