Номер 13, страница 37 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

13. Какое условие должно выполняться для того, чтобы функция $F(x)$ была первообразной для функции $f(x)$ на множестве $D$:

A $F(x) = f(x)$; C) $F(x) = f'(x)$; B) $F'(x) = f(x)$; D) $F'(x) = f'(x)$?

По определению, функция $F(x)$ называется первообразной для функции $f(x)$ на множестве $D$, если для всех $x$ из этого множества производная функции $F(x)$ равна функции $f(x)$.

Математически это определение записывается в виде формулы: $F'(x) = f(x)$.

Теперь проанализируем предложенные варианты ответа на основе этого определения:

A) $F(x) = f(x)$: Это условие означает, что функции равны. Это не является определением первообразной. Например, для функции $f(x) = 2x$ одной из первообразных является $F(x) = x^2$. Как мы видим, $F(x) \neq f(x)$.

C) $F(x) = f'(x)$: Это условие гласит, что первообразная равна производной исходной функции. Это неверно. Операция нахождения первообразной (интегрирование) является обратной по отношению к дифференцированию. Для нашего примера $f(x) = 2x$, производная $f'(x) = 2$. Первообразная $F(x) = x^2$, но $x^2 \neq 2$.

B) $F'(x) = f(x)$: Это равенство в точности соответствует определению первообразной. Производная от первообразной функции $F(x)$ должна быть равна исходной функции $f(x)$. Для нашего примера $F'(x) = (x^2)' = 2x$, что равно $f(x)$. Следовательно, это условие является верным.

D) $F'(x) = f'(x)$: Это условие означает, что производные функций $F(x)$ и $f(x)$ равны. Из этого следует, что сами функции отличаются на некоторую константу $C$, то есть $F(x) = f(x) + C$. Это также не является определением первообразной.

Таким образом, единственное верное условие, при котором функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$, представлено в варианте B.

Ответ: B) $F'(x) = f(x)$.