Номер 18, страница 38 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

18. Какое из приведенных неравенств неверное:

A) $\int_{1}^{2} x^2 dx < \int_{2}^{3} x dx;$

B) $\int_{1}^{9} \frac{1}{2\sqrt{x}} dx > \int_{1}^{2} \frac{1}{2\sqrt{x}} dx;$

C) $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x dx;$

D) $\frac{1}{7} \int_{3}^{4} dx < \int_{100}^{101} dx?$

Для того чтобы определить, какое из приведенных неравенств неверное, проанализируем каждое утверждение по отдельности.

A) $ \int_{1}^{2} x^2 dx < \int_{2}^{3} x dx $

Сначала вычислим интеграл в левой части неравенства:$ \int_{1}^{2} x^2 dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{1}^{2} = \frac{2^3}{3} - \frac{1^3}{3} = \frac{8}{3} - \frac{1}{3} = \frac{7}{3} $.Теперь вычислим интеграл в правой части:$ \int_{2}^{3} x dx = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{2}^{3} = \frac{3^2}{2} - \frac{2^2}{2} = \frac{9}{2} - \frac{4}{2} = \frac{5}{2} $.Сравним полученные значения $\frac{7}{3}$ и $\frac{5}{2}$. Для этого приведем дроби к общему знаменателю 6:$\frac{7}{3} = \frac{14}{6}$ и $\frac{5}{2} = \frac{15}{6}$.Поскольку $14 < 15$, то $\frac{14}{6} < \frac{15}{6}$. Следовательно, данное неравенство верно.

Ответ: Верно.

B) $ \int_{1}^{9} \frac{1}{2\sqrt{x}} dx > \int_{1}^{2} \frac{1}{2\sqrt{x}} dx $

Вычислим оба интеграла. Первообразная для функции $f(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ есть $F(x) = \sqrt{x}$.Левая часть:$ \int_{1}^{9} \frac{1}{2\sqrt{x}} dx = \left[ \sqrt{x} \right]_{1}^{9} = \sqrt{9} - \sqrt{1} = 3 - 1 = 2 $.Правая часть:$ \int_{1}^{2} \frac{1}{2\sqrt{x}} dx = \left[ \sqrt{x} \right]_{1}^{2} = \sqrt{2} - \sqrt{1} = \sqrt{2} - 1 $.Сравним значения $2$ и $\sqrt{2} - 1$. Неравенство $2 > \sqrt{2} - 1$ является верным, так как оно эквивалентно неравенству $3 > \sqrt{2}$, что очевидно.Кроме того, подынтегральная функция $f(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ положительна при $x>0$. Интеграл от положительной функции по промежутку $[a,b]$ можно рассматривать как площадь. Так как промежуток $[1, 9]$ включает в себя промежуток $[1, 2]$ и функция положительна, то $ \int_{1}^{9} f(x)dx = \int_{1}^{2} f(x)dx + \int_{2}^{9} f(x)dx $, где $ \int_{2}^{9} f(x)dx > 0 $. Отсюда следует, что неравенство верно.

Ответ: Верно.

C) $ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x dx $

Вычислим интеграл в левой части:$ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x dx = \left[ -\cos x \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = (-\cos(\frac{\pi}{2})) - (-\cos(0)) = -0 - (-1) = 1 $.Вычислим интеграл в правой части:$ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x dx = \left[ \sin x \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \sin(\frac{\pi}{2}) - \sin(0) = 1 - 0 = 1 $.В результате мы получили верное равенство $1 = 1$. Вопрос задачи состоит в том, чтобы найти *неверное неравенство*. Утверждения A, B и D являются верными строгими неравенствами. Утверждение C является верным равенством. Равенство двух величин означает, что любое строгое неравенство ($<$ или $>$) между ними будет ложным. Таким образом, из всех предложенных вариантов, именно С можно трактовать как неверное неравенство.

Ответ: C.

D) $ \frac{1}{7} \int_{3}^{4} dx < \int_{100}^{101} dx $

Вычислим значение выражения в левой части:$ \frac{1}{7} \int_{3}^{4} dx = \frac{1}{7} \left[ x \right]_{3}^{4} = \frac{1}{7}(4 - 3) = \frac{1}{7} \cdot 1 = \frac{1}{7} $.Вычислим интеграл в правой части:$ \int_{100}^{101} dx = \left[ x \right]_{100}^{101} = 101 - 100 = 1 $.Сравним полученные результаты: $\frac{1}{7} < 1$. Данное неравенство является верным.

Ответ: Верно.