Самостоятельно, страница 40 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Свойства 1, 3, 4, 5 докажите самостоятельно.

Поскольку в вопросе не указано, о каких именно свойствах идет речь, мы докажем стандартные свойства скалярного произведения векторов, которые часто нумеруются таким образом в курсах линейной алгебры и геометрии. Мы будем использовать определение скалярного произведения в координатах для векторов в трехмерном евклидовом пространстве.

Пусть даны векторы $\vec{a} = (a_x, a_y, a_z)$ и $\vec{b} = (b_x, b_y, b_z)$. Их скалярное произведение определяется как $\vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z$.

Свойство 1. Коммутативность (переместительный закон)

Для любых векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ справедливо равенство: $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$.

Доказательство:

Согласно определению скалярного произведения:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z$.

Теперь рассмотрим произведение $\vec{b} \cdot \vec{a}$:

$\vec{b} \cdot \vec{a} = b_x a_x + b_y a_y + b_z a_z$.

Поскольку умножение действительных чисел коммутативно (то есть, для любых чисел $u, v$ верно $uv = vu$), мы можем поменять местами множители в каждом слагаемом:

$b_x a_x = a_x b_x$

$b_y a_y = a_y b_y$

$b_z a_z = a_z b_z$

Таким образом, $b_x a_x + b_y a_y + b_z a_z = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z$.

Следовательно, $\vec{b} \cdot \vec{a} = \vec{a} \cdot \vec{b}$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что для любых векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ выполняется равенство $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$.

Свойство 3. Сочетательный закон относительно скалярного множителя (ассоциативность)

Для любых векторов $\vec{a}$, $\vec{b}$ и любого действительного числа $k$ справедливо равенство: $(k\vec{a}) \cdot \vec{b} = k(\vec{a} \cdot \vec{b})$.

Доказательство:

Пусть вектор $\vec{a} = (a_x, a_y, a_z)$ и $\vec{b} = (b_x, b_y, b_z)$. Умножение вектора $\vec{a}$ на скаляр $k$ дает вектор $k\vec{a} = (ka_x, ka_y, ka_z)$.

Найдем скалярное произведение вектора $k\vec{a}$ на вектор $\vec{b}$:

$(k\vec{a}) \cdot \vec{b} = (ka_x)b_x + (ka_y)b_y + (ka_z)b_z$.

Используя сочетательный закон умножения для действительных чисел ($ (uv)w = u(vw) $), вынесем общий множитель $k$ за скобки:

$k(a_x b_x) + k(a_y b_y) + k(a_z b_z) = k(a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z)$.

Выражение в скобках является скалярным произведением векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

Следовательно, $(k\vec{a}) \cdot \vec{b} = k(\vec{a} \cdot \vec{b})$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что для любых векторов $\vec{a}, \vec{b}$ и скаляра $k$ выполняется равенство $(k\vec{a}) \cdot \vec{b} = k(\vec{a} \cdot \vec{b})$.

Свойство 4. Распределительный закон (дистрибутивность)

Для любых векторов $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ справедливо равенство: $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{b} \cdot \vec{c}$.

Доказательство:

Пусть векторы заданы координатами: $\vec{a} = (a_x, a_y, a_z)$, $\vec{b} = (b_x, b_y, b_z)$, $\vec{c} = (c_x, c_y, c_z)$.

Сумма векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ есть вектор $\vec{a} + \vec{b} = (a_x + b_x, a_y + b_y, a_z + b_z)$.

Найдем скалярное произведение вектора $(\vec{a} + \vec{b})$ на вектор $\vec{c}$:

$(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c} = (a_x + b_x)c_x + (a_y + b_y)c_y + (a_z + b_z)c_z$.

Используя распределительный закон для действительных чисел ($ (u+v)w = uw + vw $), раскроем скобки в каждом слагаемом:

$(a_x c_x + b_x c_x) + (a_y c_y + b_y c_y) + (a_z c_z + b_z c_z)$.

Теперь, используя свойства коммутативности и ассоциативности сложения действительных чисел, сгруппируем слагаемые:

$(a_x c_x + a_y c_y + a_z c_z) + (b_x c_x + b_y c_y + b_z c_z)$.

Первая группа слагаемых представляет собой скалярное произведение $\vec{a} \cdot \vec{c}$, а вторая — $\vec{b} \cdot \vec{c}$.

Таким образом, $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{b} \cdot \vec{c}$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что для любых векторов $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ выполняется равенство $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{b} \cdot \vec{c}$.

Свойство 5. Условие ортогональности (перпендикулярности) векторов

Два ненулевых вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$ ортогональны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.

$\vec{a} \perp \vec{b} \iff \vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ (при $\vec{a} \neq \vec{0}, \vec{b} \neq \vec{0}$).

Доказательство:

Доказательство этого свойства опирается на геометрическую интерпретацию скалярного произведения, которая связывает его с углом $\theta$ между векторами:$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos\theta$, где $|\vec{a}|$ и $|\vec{b}|$ — длины (модули) векторов.

1. Докажем в одну сторону: если $\vec{a} \perp \vec{b}$, то $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$.

Если векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ ортогональны (перпендикулярны), то угол между ними $\theta = 90^\circ$ или $\pi/2$ радиан. Косинус этого угла равен $\cos(90^\circ) = 0$.

Подставляя это значение в формулу, получаем:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cdot 0 = 0$.

2. Докажем в обратную сторону: если $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ (и векторы ненулевые), то $\vec{a} \perp \vec{b}$.

Пусть $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$, и при этом $\vec{a} \neq \vec{0}$ и $\vec{b} \neq \vec{0}$. Это означает, что их длины $|\vec{a}| > 0$ и $|\vec{b}| > 0$.

Из формулы $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos\theta$ следует, что $0 = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos\theta$.

Так как $|\vec{a}|$ и $|\vec{b}|$ не равны нулю, для выполнения равенства необходимо, чтобы $\cos\theta = 0$.

Это справедливо для угла $\theta = 90^\circ$ (или $\pi/2$), что по определению означает, что векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ ортогональны.

Замечание: Если один из векторов нулевой (например, $\vec{a}=\vec{0}$), то его скалярное произведение на любой другой вектор $\vec{b}$ равно нулю: $\vec{0} \cdot \vec{b} = 0 \cdot b_x + 0 \cdot b_y + 0 \cdot b_z = 0$. В этом случае понятие угла не определено, но свойство формально выполняется. Нулевой вектор считают ортогональным любому вектору.

Ответ: Доказано, что ненулевые векторы ортогональны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.