Номер 5.2, страница 42 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

5.2.1)

1) $\sqrt[21]{1} = 1$;

2) $\sqrt[6]{64} = 2$;

3) $\sqrt[3]{-125} = -5$;

4) $\sqrt[17]{0} = 0.$

1) Проверим равенство $\sqrt[21]{1} = 1$.

По определению корня n-ой степени, $\sqrt[n]{a} = b$ тогда и только тогда, когда $b^n = a$. В данном случае $n=21$, $a=1$, $b=1$.

Нам нужно проверить, выполняется ли условие $1^{21} = 1$.

Число 1 в любой степени равно 1. Таким образом, $1^{21} = 1$.

Равенство верно.

Ответ: верно.

2) Проверим равенство $\sqrt[6]{64} = 2$.

По определению арифметического корня n-ой степени (поскольку показатель корня 6 — чётное число), равенство $\sqrt[n]{a} = b$ верно, если выполняются два условия: $b \ge 0$ и $b^n = a$.

В нашем случае $n=6$, $a=64$, $b=2$.

1. Проверяем первое условие: $2 \ge 0$. Условие выполняется.

2. Проверяем второе условие: $2^6 = 64$. Вычислим $2^6$: $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 16 \cdot 4 = 64$. Условие выполняется.

Поскольку оба условия выполнены, равенство верно.

Ответ: верно.

3) Проверим равенство $\sqrt[3]{-125} = -5$.

Поскольку показатель корня 3 — нечётное число, корень из отрицательного числа существует и является отрицательным числом. По определению корня нечетной степени, $\sqrt[n]{a} = b$, если $b^n = a$.

Здесь $n=3$, $a=-125$, $b=-5$.

Нам нужно проверить, выполняется ли условие $(-5)^3 = -125$.

Вычислим $(-5)^3$: $(-5) \cdot (-5) \cdot (-5) = 25 \cdot (-5) = -125$.

Условие выполняется, следовательно, равенство верно.

Ответ: верно.

4) Проверим равенство $\sqrt[17]{0} = 0$.

По определению корня n-ой степени, $\sqrt[n]{a} = b$ тогда и только тогда, когда $b^n = a$.

В данном случае $n=17$, $a=0$, $b=0$.

Нам нужно проверить, выполняется ли условие $0^{17} = 0$.

Ноль в любой положительной степени равен нулю. Таким образом, $0^{17} = 0$.

Равенство верно.

Ответ: верно.