Номер 17, страница 38 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

17. Площадь плоской фигуры, изображенной на рисунке, находится по формуле:

A $S = \int_{-a}^{a} f(x)dx + S_{\triangle}$;

B $S = \int_{-a}^{a} f(x)dx;

C $S = \int_{-a}^{a} f(x)dx - S_{\triangle}$;

D $S = 2 \int_{0}^{a} f(x)dx + S_{\triangle}$.

18. Какое из приведенных ниже выражений:

Площадь заштрихованной фигуры представляет собой площадь криволинейной трапеции. Эта фигура ограничена следующими линиями: сверху — графиком функции $y = f(x)$, снизу — осью абсцисс ($y = 0$), слева — вертикальной прямой $x = -a$, и справа — вертикальной прямой $x = a$.

Согласно геометрическому смыслу определенного интеграла, площадь фигуры, ограниченной графиком неотрицательной функции $y = f(x)$ на отрезке $[b, c]$, осью абсцисс и прямыми $x=b$ и $x=c$, вычисляется по формуле:

$S = \int_{b}^{c} f(x) dx$

Применяя эту формулу к данной задаче, где пределы интегрирования $b=-a$ и $c=a$, получаем, что искомая площадь $S$ равна:

$S = \int_{-a}^{a} f(x) dx$

Теперь проанализируем предложенные варианты ответов:

A) $S = \int_{-a}^{a} f(x)dx + S_{\Delta}$; — Неверно. Эта формула представляет сумму площади под графиком и площади некоторого треугольника $S_{\Delta}$, что приводит к неверному результату. Прямая $y=g(x)$ и связанный с ней треугольник не определяют границы заштрихованной области.

B) $S = \int_{-a}^{a} f(x)dx$; — Верно. Эта формула в точности соответствует определению площади криволинейной трапеции, изображенной на рисунке.

C) $S = \int_{-a}^{a} f(x)dx - S_{\Delta}$; — Неверно. Вычитание площади $S_{\Delta}$ из площади под графиком не имеет геометрического обоснования для нахождения площади заштрихованной фигуры.

D) $S = 2 \int_{0}^{a} f(x)dx + S_{\Delta}$; — Неверно. Удвоение интеграла от 0 до $a$ справедливо только для четных функций ($f(-x)=f(x)$), что не является общим случаем и не гарантируется условием задачи. Кроме того, как и в варианте A, здесь неверно прибавляется площадь $S_{\Delta}$.

Таким образом, единственной правильной формулой является формула из варианта B.

Ответ: B) $S = \int_{-a}^{a} f(x)dx;$