Номер 10, страница 37 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

10. Найдите значение интеграла $\int_a^b \frac{25\sqrt{x}}{x} dx$:

A 50;

B 10;

C 5;

D 25.

Для нахождения значения определенного интеграла $ \int_{4}^{25} \frac{25\sqrt{x}}{x} dx $ необходимо выполнить следующие шаги.

1. Упрощение подынтегральной функции.

Подынтегральная функция равна $ \frac{25\sqrt{x}}{x} $. Используя свойство степеней ($ \sqrt{x} = x^{1/2} $), мы можем ее упростить:

$ \frac{25\sqrt{x}}{x} = \frac{25x^{1/2}}{x^1} = 25x^{1/2 - 1} = 25x^{-1/2} $.

2. Нахождение первообразной.

Теперь найдем неопределенный интеграл от полученной функции. Вынесем константу 25 за знак интеграла и воспользуемся формулой для интегрирования степенной функции $ \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $:

$ \int 25x^{-1/2} dx = 25 \int x^{-1/2} dx = 25 \cdot \frac{x^{-1/2 + 1}}{-1/2 + 1} + C = 25 \cdot \frac{x^{1/2}}{1/2} + C = 25 \cdot 2x^{1/2} + C = 50\sqrt{x} + C $.

Таким образом, первообразная для функции $ 25x^{-1/2} $ равна $ F(x) = 50\sqrt{x} $.

3. Вычисление определенного интеграла.

Применим формулу Ньютона-Лейбница $ \int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a) $:

$ \int_{4}^{25} 25x^{-1/2} dx = \left. 50\sqrt{x} \right|_{4}^{25} = 50\sqrt{25} - 50\sqrt{4} $.

Вычислим значения корней: $ \sqrt{25} = 5 $ и $ \sqrt{4} = 2 $.

Подставим эти значения в выражение:

$ 50 \cdot 5 - 50 \cdot 2 = 250 - 100 = 150 $.

Полученный результат 150 не соответствует ни одному из предложенных вариантов ответа (A) 50, (B) 10, (C) 5, (D) 25. Это указывает на возможную опечатку в условии задачи или в вариантах ответов.

Рассмотрим вероятный случай опечатки в одном из пределов интегрирования. Например, если бы нижний предел был 16 вместо 4, решение выглядело бы так:

$ \int_{16}^{25} \frac{25\sqrt{x}}{x} dx = \left. 50\sqrt{x} \right|_{16}^{25} = 50\sqrt{25} - 50\sqrt{16} = 50 \cdot 5 - 50 \cdot 4 = 250 - 200 = 50 $.

Этот результат соответствует варианту ответа А. Аналогично, если бы верхний предел был 9 вместо 25, результат также был бы 50:

$ \int_{4}^{9} \frac{25\sqrt{x}}{x} dx = \left. 50\sqrt{x} \right|_{4}^{9} = 50\sqrt{9} - 50\sqrt{4} = 50 \cdot 3 - 50 \cdot 2 = 150 - 100 = 50 $.

Учитывая наличие варианта 50, наиболее вероятно, что в условии задачи была допущена опечатка, и правильный ответ должен быть 50.

A) 50

Ответ: 50